1- Se colocamos em pauta o personagem folclórico natalino, o correto é dizer Papai Noel (nome próprio, ainda que fictício), sem hífen e com as iniciais maiúsculas.
Exemplo:
Júlia ganhou uma linda boneca do Papai Noel.

 

2- O vocábulo papai-noel, com hífen e iniciais minúsculas, significa "presente de Natal".
Exemplo:
Júlia recebeu, na noite de natal, um papai-noel.
 

 

3- Ambos os termos podem ilustrar uma mesma frase.
Exemplo:
Júlia recebeu, na noite de natal, um papai-noel do Papai Noel.

Piquete, SP, 22 de dezembro de 2018 - 1h24