Treinando matemática: Questão 02 OBMEP Mirim primeira fase 2023

Olá, Mikael!!! Vamos agora resolver a segunda questão da primeira fase da OBMEP Mirim de 2023.

Veja que é uma questão de sequência. Em poucas palavras, sequência é a repetição de eventos de maneira consecutiva. Presta atenção nesta sequência: 123412341234123412341234. Veja que os números 1-2-3-4 se repetem numa sequência de forma que, no exemplo dado, temos uma série de 6 repetições do padrão 1234. Você entendeu?

Vamos pensar um pouco agora com este outro exemplo.

Olhe a sequência: 1234123412_ _

Quais serão os próximos dois números da sequência? Concorda comigo que são o 3 e o 4? 12341234123 4.

Vamos ver outra coisa interessante!

Matenha a mesma sequência de 1234. Diga-me qual será o seu 5º elemento da sequência! Veja, se a sequência é de 4 elementos, o 5º elemento será o número 1 da segunda repetição, ou seja 12341.

"Ahhh, George. Então, seu eu quiser o 6º elemento da sequência será o número 2." Isso mesmo.

Agora, veja comigo uma coisa interessante. A nossa sequência tem quantos elementos que se repetem? Concorda comigo que são 4 elementos!

Então,veja um detalhe. Para calcular qual será o 10º elemento ou até o 20º elemento, é tranquilo. Basta repetir a sequência original até alcançar o elemento 20, assim:

Agora, vamos encontrar usar outro método mais fácil para saber qualquer posição de um elemento em determinada sequência. O método é simples. Vamos supor que na sequência 1234 nós queiramos descobrir qual o elemento 20º, na verdade já sabemos, é o 4. Mas, vamos fazer de conta que não sabemos.

Pois bem. Queremos saber o 20º elemento de uma sequência com 4 elementos. Vamos fazer o seguinte: dividir o 20 ( que é a posição que queremos descobrir o elemento) por 4 ( que é a quantidade de elementos da sequência. Assim, temos:

O que isso significa? Significa que para chegarmos no 20º elemento da nossa sequência nós precisamos completar 0 ciclo 5 vezes. Ou seja, tivemos que repetir o ciclo 1234 cinco vezes para chegar no elemento que representa a 20º posição. Ainda não entendeu? Veja o exemplo:

Sempre que o resultado da divisão entre a posição do elemento que procuramos pela quantidade de elementos da sequência for igual a zero, o nosso elemento sempre será o último elemento da sequência. Vamos ver outro exemplo!

Veja que a sequência é composta por 3 elementos que se repetem. Eu te pergunto: Qual será o 20º dessa sequência? Isso ést[a fácil, pois já sabemos que basta dividir a posição que procuramos pela quantidade de elementos da sequência.

O que isso significa? Significa que demos 6 voltas no ciclo da sequência e paramos no segundo elemento, que é o circulo de cor amarela. Compreendeu? O resto da divisão nos dirá a posição. E se o resto for zero, o elemento será o último da sequência.

Agora, você é totalmente capaz de resolver esta questão da OBMEP 2023: