Construção do teorema da implicação dedutiva na lógica absurda (LA)

Como a LA tem um ϕ(α) que não é uma partícula falsum para um dado alfa e ∀Γ ∀α ∀ẞ (Γ, α, ϕ(α) ⊨ ẞ), então a LA possui uma negação suplementar. ∎ 

O último termo é válido por termos Γ ⊨ α e α ⊨ ẞ, dado a equivalência entre alfa e beta. O conjunto de fórmulas gama pode ser uma teoria contraditória em relação a negação suplementar (~), pois temos que

∃α (Γ ⊨ α e Γ ⊨ ~α).

Assim,

∃α (Γ ⊨ α e Γ ⊨ ~α) → ∃ẞ (Γ ⊨ ẞ e Γ ⊨ ~ẞ). ∎ 

Temos Γ ⊨ ẞ pela propriedade transitiva da implicação.

Como temos uma fórmula ϕ(Q), onde a partícula ϕ(α) não é verum para um dado α e ∀Γ ∀α (Γ, α ⊨ ϕ(α) → Γ ⊨ ϕ(α)), então a LA possui uma negação complementar. ∎ 

Esta seria uma outra forma de observar que há nesse sistema formal uma negação que não diz respeito ou não é sobredeterminada ao princípio da não contradição da lógica clássica, assim, nesse sistema qualquer proposição ou fbf não é nem verum nem falsum ou é uma "contradição" parcial. Poderíamos representar um termo que é uma contradição em relação a outro como ⊥. Como α° não é ⊥ α ^ ẞ, se ambos não assumirem o mesmo valor verdade, então podemos ter uma fórmula ϕ(q1, q2) (se possuírem a mesma característica), isto é, a partícula ϕ(α, ẞ) associada a essa fórmula possui o valor verdade expresso na definição de verdade paraconsistente. Também temos que ∀α ∀ẞ ∀Γ (Γ ⊨ ϕ(α, ẞ) → (Γ, α ⊨ ẞ) → Γ ⊨ ϕ(α, ẞ)), portanto, temos uma tautologia e a prova que em tal sistema há a implicação dedutiva. Assim, vale Γ, α → ẞ, dado que temos Γ, α ⊨ ẞ. Inobstante, os conectivos lógicos estão contidos ou são definidos no conjunto sigma (Σ). Por fim, temos que Q = {qn; n ∈ N) é o conjunto das fórmulas atômicas (Ca) de tal sistema e For é definido como o conjunto também de fórmulas atômicas, que derivam de Q e pertence a Σ, ou seja, For ≡ Ca | Q ⊨ For, For ∈ Σ.

Rematando, teríamos uma hierarquia entre Q e For, uma relação de ordem parcial entre as fórmulas atômicas do conjunto Q, cujo os índices pertencem aos naturais e, assim, obedecem a relação do "sucessor do sucessor, o sucessor do sucessor do sucessor" e assim por diante, e do conjunto For, pois as fórmulas de For são menos complexas que a de Q (For ≤ Q ).