Releitura do texto "uma lógica do nosense"

Atenha-se ao fato que C1 é o cálculo C1 da lógica paraconsistente, o alicerce do primeiro sistema desenvolvido por Newton da Costa e que se diferencia do cálculo C0, pois C0 comporta o princípio da não contradição, ou seja, é clássico. Γ é um conjunto de fórmula e α é uma fórmula, porém, convém perguntar, qual é o sistema X? Do qual ambos derivam/pertencem. Para um conjunto finito em um sistema formal, temos

β1, ..., βn ⊢ α,

Que é equivalente a

α → (β → α)

Se temos alfa, então beta implica alfa. E temos alfa, então poderíamos dizer que a fórmula (no caso como conjunto de fórmulas) beta do sistema X implica alfa, que também está como conjunto de fórmulas. Assim, até pela propriedade transitiva da implicação, temos

Γ ⊢ α

Gama, então alfa, que é a consequência sintática, isto é, o nosso conjunto de proposições (simples e compostas) declarativas ocasiona alfa, assim, sua existência é consequência delas ("objeto coisificado"), que, a priori, era um objeto formal. Contudo, convém perguntar, quais as regras de inferência e quais as fórmulas anteriores a beta? Para isso conceituaremos nosso até então gama como subconjunto do sistema C1, que o defino _ ou lhe atribuo a letra _ como ζ (zeta), haja vista, que para tal construção é necessário ser dois sistemas formais.

Nosso sistema possui as seguintes propriedades:

Monoticidade

Se Γ ⊆ ζ e Γ ⊢ α, então ζ ⊢ α. Ou Γ ⊆ ζ ^ Γ ⊢ α → ζ ⊢ α.

Compacidade

Temos Γ ⊢ α, se e somente se, existe um subconjunto finito X ⊆ Γ, tal que, X ⊢ α. Ou Γ ⊢ α sse ∃X ⊆ Γ | X ⊢ α.

Regra do corte

Se X ⊢ α e para cada β ∊ X temos que X ⊢ α, então Γ ⊢ α. Ou ((X ⊢ α), ((∀β ∊ X) ⇒ (X ⊢ α))) → Γ ⊢ α.

Por contrapositiva, no concernente a demonstração da consistência absoluta de um sistema consistente, temos que α e ¬α são teoremas, logo, para nenhuma delas não existe demonstração (todas são teoremas).

O alfabeto da nossa lógica absurda (LA) será as fórmulas atômicas. Os conectivos lógicos serão:

- ¬

- &/^

- v

- →

E as regras de formações:

1- As variáveis proposicionais são fórmulas.

2- Se α e ¬β são fórmulas, então (¬α), (α ^ ¬β), (α v ¬β), (α →¬β) e (α ↔¬β) são fórmulas.

3- Todas as fórmulas são obtidas por meio das regras anteriores.

Há, entretanto, um problema. O sistema C1 não possui fórmulas atômicas, quantificadores, e assim por diante, isto é, em nada se assemelha a lógica de primeira ordem. Dito isso, é necessário fazer uma extensão do sistema C1 em que possua todas as características dos seus subconjuntos para essa lógica fazer sentido. Inobstante, podemos simplesmente excluir a propriedade da compacidade e da regra do corte. Assim, a segunda regra de formação ficaria:

Se α e ¬α são fórmulas, então (¬α), (α ^ ¬α), (α v ¬α), (α →¬α) e (α ↔¬α) são fórmulas.

Tendo em vista, que alfa e beta possui uma relação de identidade. E adotarmos as letras minúsculas para representar os símbolos proposicionais. De outro modo, a sequência (β1, β2, ..., βn) ⇔ (α1, α2, ..., αn) por causa da inconsistência, assim, não vale (α) e (¬α), pois o sistema é não-trivial.

Rematando, temos X ⊢ α, Γ ⊢ α, ζ ⊢ α e X ⊢ β. Sabendo que para cada β ∊ X temos que X ⊢ α, então β ⊢ α. Como β está em X, temos, X ⊢ β, Γ ⊢ β e ζ ⊢ β. Se α e ¬β são fórmulas, então α ↔¬β é uma fórmula. Assim, temos β ⊢ α, (α →¬β) ^ (¬β →α). Ou seja, α →¬β ^ ¬β →α = β → α, isto é, ¬(β →α & (¬β →α)). Poderíamos, então, escrever, α ↔ β, que segundo a interpretação da lógica proposicional α ⇔ β. ∎

Obtemos, portanto,

(¬α), (α ^ ¬β), (α v ¬β), (α →¬β) e (α ↔¬β) ⇔ (¬α), (α ^ ¬α), (α v ¬α), (α →¬α) e (α ↔¬α).

Lembrando que também podemos escrever alfa e beta ao invés de não alfa e não beta.

Assim sendo, α ⇔ ¬α, isto é, alfa é definido como não alfa e "não" não-alfa (tanto é alfa como não alfa)

α ≡ ¬(α ^ ¬α)

E como visto na última extensão do meu sistema de lógica modal, tal definição se refere a possibilidade de alfa, portanto, temos

◊α ≡ ¬(α ^ ¬α). ∎

Como é observado, essa é a definição da verdade paraconsistente, então poderíamos escrever alfa _ como fórmula/proposição/conjunto _ ou como énupla, pois não me parece que é necessário que seja apenas um conjunto e obtermos a verdade paraconsistente. Ou por outra, se alfa, então não alfa e 'não' não-alfa

α → ¬(α & ¬α),

Que dado a equivalência entre beta e alfa, poderíamos substituir em ambos os lados alfa por beta. Porém, a recíproca também é valida, há uma simetria na relação, assim, comutatividade,

¬(β1, ..., βn & ¬β1, ..., ¬βn) →α

Ou poderíamos dizer se há beta _ como descrito em tal sistema _, então

(β1 &, ..., & βn) →α'. ∎

Como previsto para um conjunto finito (no caso, em nosso sistema formal). E, por fim, obtemos, também, a prova do trabalho anterior, assim, o validando,

(α1 &, ..., & αn) →α'. ∎

Criado: 12/03/23