Teorema Oaj de geometria plana

Dado uma circunferência em um plano, ao traçarmos uma reta tangente na horizontal com inclinação zero, outra de tal maneira que a intercepte e uma com inclinação um de tal maneira que intercepte o centro, teremos um triângulo retângulo na parte superior em relação a reta horizontal, um escaleno à esquerda em relação a reta de inclinação um, outro à direita e um isósceles ligando os dois pontos, o da segunda reta e o da terceira. Se ao estendermos a 'reta de inclinação um' for de forma simétrica, teremos que ao estender uma bissetriz a partir da interceptação da terceira e da aresta que a partir desta se liga ao ponto de intercepção da segunda e primeira, e outra que a partir do centro da base do triângulo isósceles intercepta o mesmo ponto que a reta dois e três e traçarmos um segmento de reta ortogonal de tal maneira que se una ao ponto de intercepção daquela, que o segmento de reta traçada a partir do centro da base desse novo triângulo isósceles intercepta a circunferência no ponto mais próximo (em relação aos outros ou possíveis outros) ou no ponto exato no concernente ao ponto de tangência da segunda reta.

Obs: Os dois triângulos escaleno devem ser sempre iguais. Deve sempre existir o triângulo isósceles.

Tradução matemática

Dado uma circunferência em um plano, uma reta tangente na horizontal AB interceptada por CD e uma reta EF que passa pelo centro, temos ao traçarmos um segmento de reta a partir de F até a intercepção entre CD e AB, um triângulo escaleno, da mesma forma se traçarmos de C até E. Tendo em vista, o triângulo isósceles FCB, ao traçarmos uma bissetriz a partir do ponto F até cortar a circunferência ou a tangenciar e uma reta a partir do centro da base do triângulo FCB interceptando a reta EF no segundo ponto de tangência e ligarmos ambos os pontos de tal maneira que forme um segmento de reta ortogonal, temos que o segmento de reta traçada a partir do centro da base desse novo triângulo isósceles intercepta a circunferência no ponto mais próximo (em relação aos outros ou possíveis outros) ou no exato ao de tangência da reta CD.

Obs: Os dois triângulos escaleno devem ser sempre congruentes. Deve sempre existir o triângulo isósceles.

Prova

Os pontos médios CG e FG são iguais por definição de um triângulo isósceles. Sendo GI uma semirreta // a FH e que parte ela da divisão de FC em duas semirretas iguais, pois divide o ângulo do triângulo em duas partes iguais ao passar pelo ponto de intercepção entre a reta CD e EF,  temos FH = FC = KG e sendo CG e FG iguais, temos que o ▲FGH e ▲FCG são congruentes. Sendo ▲FCG e ▲FGH congruentes, o segmento de reta que parte de CE dividindo-a em duas semirretas, gera após o segmento de reta perpendicular IH ou HI (em relação ao segmento de reta JH), um ▲GIH, que tem o segmento de reta GI e HI de mesmo comprimento, haja vista, a soma dos ângulos internos. Pelo ▲FDG e ▲CEG ter um triângulo isósceles partilhando com eles os três pontos fixos (C, F, G) devem por definição do referido triângulo ter CG e FG como iguais, por simetria ao alongar a reta EF deve-se (por definição) alongar não somente um dos pontos, então o ▲FDG e ▲CEG são congruentes. Sendo CG = GH e IH ao quadrado mais GI ao quadrado igual a GH ao quadrado, CG = GH = IH. Sendo GI = IH = GH = FG e GH/2 = CG/2 = IH/2, e tendo em vista, tudo o que foi dito, o ponto de tangência que divide o segmento de reta GH em duas semirretas é o ponto mais próximo possível ou o exato em relação ao ponto de tangência da reta CD. □

Obs: Lembre-se que CD deve interceptar AB.