As palavras há e a são homófonas (isto é, possuem grafia e significados diferentes, mas são pronunciadas da mesma forma). Isso gera muitas dúvidas de ortografia: quando utilizar uma e quando utilizar a outra? Veja a seguir alguns casos.
Quando se usa há?
A palavra há é uma conjugação do verbo “haver” quando este é impessoal, por isso seus significados mais comuns são no sentido de “existir” (nesse sentido, “ter”) ou, no caso de tempo decorrido, “fazer”. Se você substituir o verbo há por um dos verbos citados acima e isso não alterar o sentido da frase, você já sabe qual a forma correta de escrever.
Veja alguns exemplos:

• A meteorologista disse que há muita probabilidade de chuva amanhã.
  (A meteorologista disse que existe muita probabilidade de chuva amanhã.)
   
  Há vários livros no meu quarto.
  (Tem vários livros no meu quarto.)
   
  Não nos vemos há muitos anos.
  (Não nos vemos faz muitos anos.)

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A palavra “a” pode ter diversas classificações dependendo do contexto. Costuma estar em várias locuções e, por isso, seu uso é muito versátil.
Usamos “a” como artigo definido feminino singular, ou seja, para especificar um substantivo feminino em determinado contexto. Já as preposições conectam uma palavra a outra, gerando sentido e estabelecendo uma relação de dependência entre elas. A preposição “a” costuma ser regida por alguns verbos, isto é, eles necessitam dessa preposição para que o enunciado tenha sentido. Além dos verbos, muitas vezes a preposição “a” aparece em locuções, que são duas ou mais palavras com a mesma função, cujo sentido surge a partir da junção desses termos, e não da palavra isolada.
Quando não há sentido de “existir” ou de tempo passado, use a palavra “a”.
Observe os exemplos a seguir:

• Estivemos em consulta com a pediatra.
  (Artigo)
   
  Eu disse a ela que estava tudo bem.
  (Preposição)
   
  Daqui a pouco vai chover.
  (Locução adverbial)

Dúvidas Comuns

• Cuidado com o pleonasmo! 

Não se usa na mesma frase “há ... atrás”, pois isso torna o significado redundante. “Há” já possui sentido de algo passado, como dito acima. Veja:

• Eu nasci há dez mil anos atrás.
  (Inadequado de acordo com a norma-padrão.)
   
  Eu nasci há dez mil anos.
  (Adequado de acordo com a norma-padrão.)
   
  Eu nasci dez mil anos atrás.
  (Adequado de acordo com a norma-padrão.)

Leia também: Pleonasmos viciosos mais comuns da língua portuguesa

• Cuidado com a crase!

Não usamos “a”, antes de pronomes pessoais, não vem acompanhada de crase. Observe:

• Deu a ela muitos cumprimentos pela conquista.
  Ofereceram a nós muita ajuda.

• Passado x Futuro

Note que, enquanto “há” costuma estar presente no sentido de tempo passado, “a” pode estar presente em locuções no sentido de tempo futuro. Veja:

• Nós chegamos HÁ dez minutos.
  (Tempo passado)
   
  Nós vamos chegar daqui A dez minutos.
  (Tempo futuro)