Demonstração simples do teorema de Pitágoras

Testemunhei, ao longo de muitos anos, que mesmo a grande maioria dos que eram capazes de aplicar corretamente o velho teorema de Pitágoras não eram capazes de o demonstrar e que até em professores isso era frequente, mau grado existirem, publicadas, creio que umas duzentas maneiras diferentes de o fazer e terem decorrido pelo menos uns dois mil e quinhentos anos da sua utilização pela humanidade. Por isso tento divulgar uma forma de o fazer que me parece simples.

Enunciado apenas como “o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos” as crianças esquecem muitas vezes, o que também testemunhei, que catetos e hipotenusa só existem nos triângulos retângulos, sendo tentadas a esquecer a hipótese e a aplicar a tese a triângulos não retângulos, Talvez deva ser ainda lembrado que o recíproco (trocando a hipótese pela tese): Um triângulo em que o quadrado do lado maior é igual à soma do quadrado dos outros dois é um triângulo retângulo, é também verdadeiro. Pode ser que o conhecido teorema deva ser enunciado de forma diferente da mais habitual e já referida, talvez assim: Num triângulo com um ângulo reto (ou retângulo), a soma dos quadrados dos lados (catetos) desse ângulo é igual ao quadrado do terceiro lado (chamado hipotenusa e maior que qualquer dos outros dois).

Consideremos então um triângulo com os vértices A, B e C com o ângulo reto com vértice em C e lados AC e BC. Chamemos a à medida do lado BC, b à do AC e c à do AB. Para a direita de A e na mesma reta que AC marquemos um segmento de medida igual a a e no seu extremo direito tracemos uma perpendicular com a medida b. Unindo o extremo dessa perpendicular com o vértice A do triângulo anterior ficamos com outro triângulo igual ao anterior como é fácil demonstrar, mas desta vez “deitado” sobre o lado de comprimento a, alinhado com o lado de comprimento b do 1º triângulo. Podemos chamar aos vértices do novo triângulo A´, B´ e C´, sendo que o vértice B´ do 2º coincide com o vértice A do 1º, o vértice C´ é o do ângulo reto e o A´ é o vértice superior deste 2º triângulo para que os vértices com a mesma letra correspondam a ângulos iguais. Unindo agora os vértices B do 1º triângulo com o A´ do 2º obtemos um trapézio C´A´B C com as bases a e b e altura a+b, constituído por 3 triângulos retângulos (como é fácil demonstrar por a soma dos dois ângulos não retos dos triângulos iguais que construímos somarem 90º e portanto os lados de comprimento c dos dois triângulos fazem também um ângulo de 90º.

Unindo os pontos (marcados com um x e "baptizados" com uma letra máiúscula) A, B e C temos o 1º triângulo referido; unindo A (ou B´) com A´e C´ temos o 2º triângulo igual ao 1º e finalmente unindo A´com B temos o trapézio descrito. Os lados BC e B´(ou A) C´têm a medida a, os lados AC e A´C´têm a medida b e os lados AB e A´B´têm a medida c.

xA´

xC x A=B´ xC´

Como é sabido a área desse trapézio é o produto da semissoma das bases pela altura ou seja (a+b)/2 x (a+b) ou (a+b)x(a+b)/2. Mas a mesma área pode ser calculada somando as áreas dos triângulos ABC, A´B´(ou A) C´ e A´ A (ou B´)B. A área assim calculada daria (axb)/2 para cada um dos triângulos iguais mais (cxc)/2 para o triângulo do meio ou 2x(axb)/2 + cxc/2. Igualando as expressões que dão a mesma área temos: (a+b)x(a+b)/2 = 2x(axb)/2 + cxc/2.

Fazendo desaparecer os denominadores por serem iguais e desenvolvendo vem: axa + bxb +2axb = 2axb + cxc e subtraindo 2axb a ambos os membros da equação concluímos que axa + bxb = cxc , ou a ao quadrado mais b ao quadrado igual a c ao quadrado sendo a e b os catetos do triângulo e c a hipotenusa, como queríamos demonstrar.

As crianças que gostem de poesia e não esqueçam que catetos e hipotenusa só existem nos triângulos retângulos podem memorizar melhor e enunciar o teorema de Pitágoras com a quadra, de autor para mim desconhecido, que reza assim:

Um dia em Siracusa

Pitágoras disse aos netos

O quadrado da hipotenusa

É a soma do dos catetos.