Paradoxos

Só sei que nada sei. Por vezes, a matemática é capaz de cambalear. No início do século XX, um paradoxo formulado pelo escritor britânico e vencedor do Prêmio Nobela de Literatura Bertrand Russel e, incluía em sua base a teoria de conjuntos de Cantor-Frege. Ambos alemães que assumiram que todo predicado definia um conjunto. Desta forma, o predicado era "ser de ouro" que define o conjunto de todas as coisas que são de outor. Russel, no entanto, descobriu, que havia um predicado em particular que contradisse a teoria: pois não pertence a si mesmo.
Trata-se de um paradoxo complexo, mas felizmente encontramos uma das explicações mais didáticas criada por M. Carmem Márquez Garcia Suponhamos que um conhecido especialista em obras de arte decida classificar os quadros de todo o mundo em uma das duas categorias mutuamente excludentes.
Uma categoria, de poucos quadros, consiste em todas as pinturas que incluem uma imagem de si mesma na cena apresentada na tela. Por exemplo, podemos pintar um quadro, intitulado "Interior", de uma sala e seus móveis - obras penduradas, uma estátua, um piano de cauda - que inclui, pendurado acima do piano, uma pequena pintura da pintura "Interior". Assim, nossa tela incluiria uma imagem de si mesma.
A outra categoria, muito mais comum, consistiria em todos os quadros que não incluem uma imagem de si mesmo. 

Chamaremos essas obras de "pinturas de Russell". A Mona Lisa, por exemplo, é uma pintura de Russell porque não tem dentro dela mesma uma pequena pintura da Mona Lisa. Suponhamos também que nosso especialista em arte reúna em uma enorme exposição todas as pinturas de Russell do mundo. Depois de imensos esforços, ele as reúne e as pendura em uma sala enorme.
Orgulhoso de sua façanha, o especialista instrui um artista a pintar uma imagem da sala e seu conteúdo. Quando a pintura ficar pronta, o artista a intitula, com toda propriedade, de "Todas as pinturas de Russell do mundo".

Mas uma vez que a imagem foi adicionada, estamos novamente no início da história. A imagem deve ser apagada, posteriormente deve ser pintada e depois excluída, e assim por diante.

Eventualmente, o artista e o especialista perceberão que algo não está funcionando: eles encontraram o paradoxo de Russell. Embora para alguns matemáticos o assunto era indiferente e não merecia muita reflexão, outros dedicaram a maior parte do seu trabalho intelectual na primeira metade do século XX a superar o paradoxo de Russell... até que se decidiu que um conjunto que contenha a si mesmo realmente não é um conjunto. A solução não agradou a muitos, nem mesmo a Russell.

M. Carmen Márquez García diz que "a tensão intelectual e sua conclusão desanimadora cobraram um preço muito caro". Russell lembraria como depois disto ele "se afastou da lógica matemática com uma espécie de náusea".

Paradoxo de Russell (e Paradoxo do Barbeiro) 

Em 1901, enquanto trabalhava em seu livro "Os princípios da Matemática", Bertrand Russell descobriu um paradoxo que expunha uma falha nos fundamentos da Teoria dos Conjuntos, de Georg Cantor. E veio abalar a lógica moderna.

Perguntou-se: “Esse conjunto dos conjuntos pertence a si mesmo?”. Existem duas repostas possíveis: sim, ele pertence a si mesmo, ou não, não pertence a si mesmo. 

Se a resposta é que não, ele não pertence a si mesmo, então ele se encaixa na descrição do conjunto (que abriga todos os conjuntos que não pertencem a si mesmos). Se ele se encaixa na descrição, então... 

Esse paradoxo não fica restrito à matemática, e pode ser entendido também no contexto da autorreferência, que é quando uma afirmação faz referência a si mesma. Ele também é conhecido como o Paradoxo do Barbeiro.