O Numero Magico

Acredito que a maioria das pessoas nao tem conhecimento das caracteristicas ou propriedades deste numero, que na verdade e representado por uma letra grega. O objetivo deste artigo, portanto e apresentar e abordar estas singularidades.

Que numero e este e afinal quais sao seus misterios.

O valor da razão entre a circunferência do círculo e seu diâmetro é a mais antiga constante matemática que se conhece. Ainda é um recurso utilizado em varias areas de pesquisa. As ondas numa praia, o trajeto das estrelas no céu, o espalhamento de uma colônia de cogumelos, o movimento das engrenagens e rolamentos, a propagação das ondas eletromagnéticos e um sem número de fenômenos.

Esta associado às idéias de simetria circular e esférica. Decidiu-se representa-lo pela letra pi minúsculo, letra inicial da palavra grega Peripheria que significa perímetro ou circunferência.

Na verdade, concluiu-se que PI não é uma fração. Ou seja, se pudéssemos escreve-lo como uma fração a/b, seu cálculo se resumiria em identificar os valores inteiros de a e b ou explorar a periodicidade de sua representação decimal (por exemplo, se PI = 22 / 7 = 3.142857 142857 142857 ..., então bastaria achar o valor da parte inteira, 3, e o bloco 142.857 que se repete indefinidamente). O fato de que, por mais de 2.000 anos, ninguém tivesse conseguido explorar nenhuma das duas possibilidades acima motivou ou levou a definir que PI não e uma fração. A verificação rigorosa desse fato e sua demonstração (da irracionalidade de PI) ocorreu apenas por volta de 1.760.

A irracionalidade de PI não seria suficiente para determinar a dificuldade de seu cálculo. Existem numeros irracionais de representação decimal previsível, portanto, fáceis de calcular, como é o caso de 3.10110111011110... Mas PI é difícil de se calcular porque é um irracional imprevisível, ou seja, sua representação decimal não mostra nenhuma previsibilidade, sendo que seus algarismos se distribuam de forma aleatoria.

Devido a irracionalidade imprevisível, jamais saberemos seu valor exato e isso nos leva a indagar:

- por que não usar ou trabalhar com aproximações praticas do PI?

Na maioria das situacoes ou calculos e o que ocorre. Normalmente, usamos o valor 3,14. Na maioria dos calculos científicos não utilizamos mais do que quatros casas decimais (3,1416) e somente cálculos matemáticos complexos, como o da obtenção de valores muito exatos das funções trigonométricas, utilizariam mais de 10 dígitos.

O matemático que mais se preocupou com a obtenção de aproximações praticas do PI foi Archimedes. Usando o método dos polígonos mostrou que:

- 3 10/71 < PI < 3 1/7, ou em frações decimais: 3,1408 < Pi < 3,1428.

O método dos polígonos envolve a obtenção de sucessivas delimitações da circunferência do círculo através do cálculo do perímetro de polígonos regulares inscritos e circunscritos, cujo número de lados vai sucessivamente dobrando. Consequentemente, o método é capaz, ao menos em princípio, de obter aproximações de PI tão grandes quanto desejarmos.

Um dos mais famosos records no calculo do Pi foi o de William Shanks que, em 1.874, depois de 15 anos de cálculos, obteve os 707 primeiros dígitos do PI. Seu trabalho foi brutal, utilizando apenas lápis e papel. Mesmo com o surgimento de máquinas de calcular e os primeiros computadores, esse record só foi quebrado em 1.947, usando uma calculadora mecânica. (obteve 808 dígitos)

Uma observacao importante é que esse tipo de esforço ficou obsoleto com o surgimento dos computadores.

O desenvolvimento de algorítmicos para calcular o PI foram muito mais desafiadores. Isso foi muito bem colocado por Neal Carothers:

"O cálculo dos 100.265 primeiros dígitos do PI, em 1961, precisou de aproximadamente 105.000 operações aritméticas, enquanto que o algoritmo inventado pelos irmãos Borwein em 1984 precisou de apenas 112 operações aritméticas para obter os mesmos dígitos. Com apenas 8 iterações (que envolveu 56 operações aritméticas) obtiveram em poucos segundos a aproximação que consumiu 15 anos da vida de Wm. Shanks".

Estudar a estatística da distribuição dos dígitos do PI

Um dos interesses de se calcular grandes quantidades de dígitos do PI é verificar sua distribuição aleatória. Os cálculos já realizados confirmam essa hipotese. Por exemplo, examinando os 200 bilhões de dígitos iniciais do PI, obtiveram a seguinte distribuição:

DÍGITO NUMERO de OCORRÊNCIAS

0 20.000.030.841

1 19.999.914.711

2 20.000.136.978

3 20.000.069393

4 19.999.921.691

5 19.999.917.053

6 19.999.881.515

7 19.999.967.594

8 20.000.291.044

9 19.999.869.180

Esses números de ocorrência estão bastante próximos dos esperados 20.000.000.000 previstos pelo cálculo das probabilidades.

Uma das aplicacoes mais usuais para todos estes esforcos e demonstrar a performance dos novos computadores. Uma maneira prática de mostrar a capacidade dos computadores em realizar operacoes por segundo e anunciar que o mesmo possibilitou a quebra do record nos número de algarismos calculados para PI.