ASPECTOS HISTÓRICOS DAS METODOLOGIAS
DE ENSINO DA MATEMÁTICA
Luiz Carlos Pais
DE ENSINO DA MATEMÁTICA
Luiz Carlos Pais
RESUMO: Este artigo descreve os resultados de uma pesquisa realizada com o objetivo de abordar a questão metodológica do ensino da matemática, destacando raízes históricas e tendências atuais. Para realizar esse objetivo, foram analisadas estratégias metodológicas contidas em livros didáticos publicados nas últimas duas décadas, no Brasil. Outra fonte de dados foram referências bibliográficas que expressam concepções referentes aos aspectos metodológicos. O referencial teórico fundamenta-se na Teoria Antropológica do Didático, proposta pelo educador francês Yves Chevallard. Uma análise fenomenológica foi realizada nos textos que revelam aspectos da metodologia do ensino da matemática, no que diz respeito aos dispositivos usados. Os resultados indicam que alguns aspectos atuais dessa disciplina tiveram origem no movimento de reformulação do ensino da matemática, iniciado na primeira metade do século XX. No Brasil, as primeiras propostas de mudança surgiram a partir da década de 1930 com idéias divulgadas por Euclides Roxo, defendendo adoção de métodos mais adequados para contemplar aspectos mais experimentais do conhecimento matemático. Os livros didáticos atuais revelam um aumento expressivo de articulações para contextualizar os conteúdos, destacando uma expansão do uso de recursos visuais de comunicação por meio de desenhos, esquemas gráficos e fotos de objetos associados aos conceitos.
PALAVRAS-CHAVE: Didática da Matemática. Livros Didáticos de Matemática. Metodologia de Ensino da Matemática. Recursos didáticos da matemática.
1) CONSIDERAÇÕES INICIAIS
As questões metodológicas do ensino da matemática já ocuparam um lugar de maior destaque no debate da área de Educação Matemática. Por volta de 1980, esse assunto motivou a realização de várias pesquisas e de cursos de especialização. O problema principal do ensino da matemática parecia estar muito mais na metodologia do que nos conteúdos. Essa convergência de interesses foi uma reação contra a tendência de atribuir aos conteúdos o ponto central da prática de ensino. Para superar os equívocos de uma radicalização em posições opostas, uma das tendências atuais é estabelecer permanentes articulações entre métodos, conteúdos e os valores, no sentido de implementar uma visão dialética na condução da prática pedagógica.
A tendênica tradicional tende a ser ainda mais radical quando é dominada pela visão formalista. É preciso falar dessa vertente porque ela ainda atua como uma das fontes de influência. Com base nessa concepção, ensinar matemátia consiste em apresentar uma sequência de axiomas, definições, teoremas, demonstrações, exemplos e exercícios. Esse quadro tem sido alterado com a evolução da Educação Matemática, mas, trata-se de uma questão fortemente enraizada no plano institucional do saber acadêmico. As práticas resultantes dessa influência ainda são dominadas pelo pensamento positivista e traduzidas pelo que Gascón (2003) chama de euclidianismo.
Além de analisar livros didáticos das duas últimas décadas, analisamos também referências bibliográficas publicadas na primeira metade do século XX. São obras destinadas aos professores de matemática e coincidem com o período de expansão do movimento de reformulação do ensino da matemática. Valorizamos essas referências porque a cultura escrita tem um peso considerável na cultura escolar. Nesse sentido, a abordagem proposta por Chevallard (2002) é um referencial adequado por permitir uma compreensão das atividades docentes, sem descuidar da vertende epistemológica. A partir dessas considerações, desenvolvemos uma pesquisa conduzida pela seguinte questão: quais são as raízes históricas da diversificação das estratégias metodológicas verificada em grande parte nos atuais livros didáticos de matemática?
2) REFERÊNCIAS TEÓRICAS
As referências adotadas para analisar as tendências da metodologia de ensino da matemática e suas raízes históricas se inserem no quadro da abordagem antropológica proposta por Chevallard (2002). Visando atender a dimensão cultural da matemática como disciplina escolar, nossa intenção é utilizar a noção de vulgata, descrita por Chervel (1990), para interpretar as ações e os recursos utilizados no contexto de uma disciplina em um dado momento. Os próximos parágrafos são reservados para descrever alguns pontos dessa referência, os quais nós articulamos com a questão metodológica.
2.1 Abordagem antropológica e a questão metodológica
As estratégias metodológicas não são criações individuais dos professores. As escolhas realizadas estão vinculadas a um contexto mais amplo e ultrapassam os limites da sala de aula, da escola e da experiência docente. Ao adotar um método, o professor parte de referências institucionais que participam na escolha dos caminhos e dos dispositivos. Quando se trata do professor em início de carreira, o peso dessas fontes é ainda maior. Nossa intenção é tratar das estratégias induzidas por fontes de influência da prática pedagógica, entrelaçando as ações docentes com as referências institucionais. Essa maneira de entender a questão metodológica está em sintonia com a abordagem antropológica proposta por Chevallard (2002) ao defender a localização da atividade matemática no conjunto das atividades institucionais e humanas. As tendências usuais são indicações institucionais implementadas pelos professores. Os livros didáticos e o saber acadêmico estão entre as instituições participantes dessas indicações. Ao defender tal ponto de vista, é preciso considerar os vínculos entre a subjetividade das ações docentes e a objetividade das indicações institucionais.
Para implementar uma proposta curricular as relações entre métodos, conteúdos e objetivos são traduzidas em termos de tarefas e técnicas, formando a parte externa das atividades didáticas. Esses dois elementos se desdobram em quatro, se considerarmos a parte referente à atividade do aluno e o que compete ao trabalho docente. Sem conceber isolamento entre os elementos desse bloco prático-técnico, Chevallard propõe associá-lo ao saber-fazer. A partir dessa idéia, chegamos à noção de competência. Segundo nossa leitura, a competência docente no que diz respeito aos aspectos metodológicos pode ser interpretada à luz dessa maneira de conceber o saber-fazer. A vantagem dessa interpretação é contribuir na expansão da objetividade da idéia de competência, quase sempre mencionada de maneira vaga. As tarefas e técnicas são complementadas por explicações tecnológicas e teóricas.
Os métodos adotados pelos professores e avalizados pelas instituições ganham maior visibilidade quando as organizações didáticas são explicitadas. Por esse motivo, nossa intenção é pesquisar a dimensão metodológica a partir das praxeologias induzidas por livros didáticos e por outras fontes bibliográficas. Para aplicar as noções dessa referência teórica, acreditamos não ser necessário negar nossas concepções oriundas do pensamento fenomenológico. Nossa intenção é ampliar essa referência para procurar incluir uma visão mais crítica através de categorias culturais e históricas.
2.2 Estratégias metodológicas induzidas
Falamos em termos de estratégias induzidas porque compete ao professor conduzir as ações realizadas na sala de aula. Isto não quer dizer que ele tenha liberdade absoluta para criar métodos e recursos. Os limites das escolhas são delineados pelas indicações da cultura escolar. Chervel (1990), ao estudar a história do exame da agregação na França, chama atenção para outra fonte de influência considerável que é o próprio corpo docente, o qual convive com a instituição escolar, mas não reproduz automaticamente o que lhe é indicado. Se, por um lado, idealizamos a independência intelectual, por outro, devemos prever o espaço do diálogo na realização de escolhas dentro dos elementos culturais da vulgata. Por esse motivo, falamos em praxeologias induzidas, das quais o professor lança mão para definir a parte essencial de suas ações.
Temos o interesse em analisar estratégias induzidas por livros didáticos porque estamos inseridos no desafio de contribuir na formação de professores. Além do mais, em nível da formação inicial a influência das praxeologias induzidas é mais acentuada. Chevallard (2002), aborda essa questão do jovem professor, destacando os desafios encontrados para compreender as práticas recomendadas. Nesse momento inicial da carreira o poder das instituições aparece com mais intensidade. Um dos desafios é perceber caminhos que possam ir além daqueles originados na matemática formal. Nosso envolvimento com a formação de professores revela dois casos opostos. Um deles é o professor em início de carreira. O outro é o caso do professor com muitos anos de experiência, que tendo uma maneira própria e cristalizada de conduzir suas aulas, é resistente a qualquer proposta de mudança. Em casos extremos, o conhecimento empírico funciona como um obstáculo à instalação de uma nova referência pedagógica.
3. ASPECTOS EPISTEMOLÓGICOS DA METODOLOGIA
Os próximos parágrafos destacam aspectos epistemológicos ligados à questão metodológica a partir da análise de concepções de autores de obras publicadas na primeira metade do século XX. São concepções que tratam de aspectos mais teóricos da metodologia, porém com implicações diretas na condução prática. O contexto histórico dessas idéias coincide com o movimento de reformulação do ensino da matemática, liderado pelo matemático alemão Félix Klein (1849 -1925). A convergência de forças oriundas das instituições envolvidas nesse movimento define o que era mais indicado em termos dos caminhos a serem seguidos pelos professores e permite identificar traços ainda presentes nas tendências atuais da educação matemática. Alguns desses traços aparecem no atual cenário da inserção das tecnologias digitais na educação. Entre as fontes que influenciam a escolha das estratégias, centralizamos nossa atenção no livro didático, pelo fato de ser um dos dispositivos mais acessíveis no estudo escolar.
3.1 Movimento de reformulação do ensino da matemática
A idéia de criação de uma comissão internacional para estudar a modernização do ensino da matemática já existia nos últimos anos do século XIX. Em 1905, por ocasião da realização de um congresso mundial de matemáticos, foi formalizada uma proposta nesse sentido. Assim, em 1908, foi criada a Comissão Internacional de Ensino da Matemática (CIEM), em sintonia direta com o saber acadêmico com a finalidade de expandir suas ações por diversos países. O critério para um país poder participar dessa comissão era o grau de atividade de sua comunidade matemática, medido através do número de participantes nos congressos mundiais até então realizados. A princípio, o objetivo era obter uma visão geral do ensino da matemática nos diversos países e nos difentes níveis educacionais. Entretanto, para destacar o peso da componente político-social no contexto da reforma, Schubring (2003) mostra a existência de incongruências entre os objetivos anunciados pela CIEM e os fatos ocorridos em países que rejeitaram suas propostas. Félix Klein era um fervoroso defensor do ensino da geometria e a Itália tinha longa tradição de valorização desse domínio de conteúdo. Dessa maneira, não haviam razões aparentes para que as propostas da mudança pudessem ser rejeitadas pelos italianos. Com o destaque desses fatos, surge a hipótese que os objetivos do movimento estavam atrelados a uma proposta política da qual os italianos não concordavam. Giovanni Vailati (1863 – 1909) era o representante da CIEM na Itália e sua morte foi um golpe contra o sucesso das reformas naquele país. Era um dos poucos matemáticos italianos contrários à tendência conservadora de tornar os métodos de ensino ainda mais rigorosos.
A maioria dos matemáticos italianos rejeitava a abordagem intuitiva ou indutiva nos métodos de ensino e, pelo contrário, defendia maior rigor e formalismo. Para essa ala conservadora, o ensino axiomático era uma prioridade. Esse era o cenário de uma disputa de poder através da defesa de métodos que fossem mais ou menos acessível aos alunos. O centro da questão não estava na metodologia em si, mas na ampliação ou não das condições de acesso à educação. Nesse momento, ficou explícita a existência de uma força opositora ao movimento de reforma do ensino da matemática. A defesa radical da abstração, do rigor e da origem puramente racional da matemática completa essa visão conservadora. Em última instância, são características do saber matemático, indevidamente, utilizadas pela defesa de um projeto político.
Quando iniciou o movimento de reformulação do ensino da matemática, existia na Alemanha um problema de transição política de uma sociedade antiga para um novo modelo de organização social onde a ciência e a industria começavam a ter maior importância. A tentativa de modernizar o ensino toma fôlego na medida em que havia um clima para ocorrer mudanças sociais. Estava em pauta o desafio de transição da antiga situação política para um novo quadro de possibilidades sociais. Este é um exemplo histórico vivo onde as relações entre conhecimento e interesse sobressaem, negando a visão ingênua de que a matemática é uma ciência imparcial devido a sua objetividade. Os motivos que levaram Klein a se envolver na reformulação do ensino da matemática dizem respeito à transição do ensino secundário para o superior.
3.2 Uma indevida identificação metodológica
Entre os autores do início do século XX interessados pela questão metodológica da matemática está o matemático espanhol Júlio Rey Pastor (1888 – 1962). Formado na Universidade de Zaragoza, foi professor de matemática na Universidade de Madri e, por muitos anos, trabalhou na Universidade de Buenos Aires, onde contribuiu na formação da primeira geração de matemáticos desse país, sempre atento às questões educacionais. Na década de 1920, sua produção científica contribuiu para o desenvolvimento teórico da geometria. Mas, também realizou estudos sobre a História e a Epistemologia da Matemática com a preocupação de discutir as suas implicações didáticas. Entre as suas obras está Metodologia de la Matemática, publicada em 1926, com reedições na década de 1940. Esta obra apresenta um ponto de vista fundamental da questão metodológica do ensino da matemática, ao destacar os riscos da metodologia de ensino ser confundida com a metodologia de produção da ciência. A primeira está mais ligada à Didática e a sua finalidade é estruturar as atividades escolares, enquanto a segunda pertence ao plano acadêmico, com a finalidade de regular a produção de novos conhecimentos.
O destaque feito por esse autor chama a atenção para o que tem sido o principal equívoco da vertente tradicional: confundir as estratégias de ensino com as condições exigidas na sistematização final do texto matemático. Existe neste ponto uma verdadeira nebulosa epistemológica, uma nuvem na qual se perdem as estratégias tradicionais e os resultados dessa identificação são desastrosos. Mais especificamente, trata-se de adotar quase somente o método lógico-dedutivo, tal como é valorizado na sistematização do saber matemático. A degeneração dessa vertente de ensino recai no formalismo, quando a sistematização é tratada como sendo a principal condição do ensino escolar.
3.3 Finalidades de uma escolha metodológica
A adoção do método lógico-dedutivo predominou durante muitos séculos no ensino da matemática. Começou a ser questionada no início do século XX, com o movimento de reformulação do ensino da matemática. As influências desse movimento, em termos de mudanças efetivas nas práticas educativas, não foram as mesmas em todos os países. Schubring (2003) analisa os objetivos que estavam por trás desse movimento na Alemanha, mostrando o peso da dimensão política de um momento marcado pelo início da expansão industrial capitalista. Esse tipo de análise mostra a necessidade do professor estar atento às razões mais profundas das escolhas feitas, quer sejam dos conteúdos e quanto aos métodos. Quais razões justificam a adoção da visão dedutivista como opção predominante no ensino escolar? Durante séculos a matemática foi considerada uma disciplina separada do mundo das classes populares.
O pensamento de Euclides foi a principal fonte de influência para justificar essa estratégia dedutivista, conforme podemos ver nas recomendações descritas no guia pedagógico dos jesuítas, na parte destinada aos professores de matemática. Assim, é preciso indagar pelos motivos que avalizaram o predomínio dessa visão metodológica até o início do século XX. A formalização proposta para organizar o conhecimento geométrico passou a ser adotada como modelo para conduzir o estudo da matemática. Para compreender essa questão, reportamos às idéias de Rey Pastor, explicando que o termo método significa a escolha de um caminho para alcançar um determinado objetivo, enquanto que o termo metodologia era empregado para teorizar, no contexto de uma disciplina, os diversos caminhos que conduzem ao fim previsto. Assim, não devemos separar os desafios da escolha de um método da questão de definição dos objetivos. Nesse sentido, o professor não deve confundir o método de validação do saber matemático com os métodos de organização do estudo escolar.
Essa observação feita por Rey Pastor desperta nossa atenção porque é muito raro encontrar autores que destacam a existência dessa nebulosa e vinculam a compreensão do significado do método em função dos objetivos previstos. Mesmo que essas duas maneiras de conceber a metodologia de ensino tenham uma interseção, é provável que grande parte das dificuldades do ensino da matemática tenha origem nessa confusão. Os paradigmas de uma comunidade científica têm origem no plano institucional da área acadêmica e não devem ser confundidos com a especificidade de um contrato didático cuja natureza pertence a outra instituição.
Ainda existe essa nebulosa no ensino da matemática, mas alguns autores da primeira metade do século XX tinham consciência da questão. Infelizmente, a evolução dessas idéias sofreu um corte patrocinado pelo tecnicismo, quando as propostas metodológicas passaram a ser dominadas pela visão dos defensores da matemática moderna. Até hoje, não é difícil encontrar livros didáticos onde as estratégias metodológicas repousam somente na dimensão epistemológica do saber matemático. Para compreender a crítica feita por Rey Pastor é preciso entender as concepções e os valores que fundamentam seu pensamento educacional, em função do momento histórico vivido por ele. Um assunto de debate da época era a definição de valores que pudessem melhor justificar a presença da matemática no currículo escolar.
3.4 Dialética entre as dimensões racional e experimental
Para analisar a questão metodológica do ensino da matemática realizamos uma leitura da obra de Bento de Jesus Caraça (1901 – 1948), Conceitos Fundamentais da Matemática, publicada em 1941. Este autor foi um notável matemático português cujas idéias educacionais estavam voltadas em sintonia com as questões sociais e culturais. Autor de várias obras, foi um educador engajado em movimentos sociais de sua época. Defendia a necessidade de democratizar o acesso à cultura como uma das etapas para transformar a sociedade de classes. Nesse sentido, atribuía um papel político à matemática que podia, segundo ele, possibilitar aos operários uma clara compreensão das armadilhas econômicas do regime capitalista. Um dos traços do seu pensamento consistia em rejeitar a idéia de atribuir à Matemática uma origem somente racional. Segundo sua visão, a elaboração do saber deve passar por permanentes laços dialéticos entre a dimensão racional e aspectos experimentais do conhecimento.
A aplicação desse princípio dialético indicava para a necessidade de transformar as estratégias adotadas no ensino tradicional da matemática. Nos cursos de matemática que ministrava esse princípio era aplicado e sempre denunciava o uso indevido com que a racionalidade é utilizada em defesa das classes dominantes. A conseqüência desse princípio era a necessidade de valorizar a dimensão experimental do conhecimento. Denunciava a visão determinista com que as ciências aparecem nos livros e chamava a atenção dos professores para a concepção equivocada de considerar a ciência um todo harmonioso, onde as idéias se encaixam em uma ordem definitiva e sem contradições.
Essa visão antecipa uma questão ainda não totalmente resolvida, quando o livro didático passa a se adotado como um fio condutor absoluto das atividades escolares. Caraça defende um ponto de vista importante para orientar o ensino que consiste na necessidade de acompanhar o desenvolvimento progressivo da ciência, procurando compreender a maneira como a ciência vai sendo elaborada no transcorrer da história. Quando esse acompanhamento é realizado percebe-se que sua evolução é totalmente diferente da forma como é apresenta nos livros. Em outros termos, Caraça defende que a linearidade do texto didático deve ser confrontada pelo professor com a verdadeira evolução do saber do científico.
3.5 Euclides Roxo e a questão metodológica
A orientação metodológica tradicional consiste em valorizar o modelo lógico-dedutivo, a sistematização e a defesa do formalismo inerente ao saber matemático. Essa visão repousa ainda na concepção de que a matemática é uma disciplina cuja finalidade maior é desenvolver o raciocínio lógico e serve para enaltecer o espírito humano. A partir de 1930, Euclides Roxo, no Colégio Pedro II, começou a explicitar os primeiros traços de uma orientação metodológica diferente da linha tradicional. Em sintonia com as orientações debatidas em outros países, Euclides Roxo defendia a necessidade de valorizar aspectos mais subjetivos da aprendizagem, tais como o interesse do aluno e o seu nível de desenvolvimento cognitivo. A valorização de aspectos experimentais e intuitivos do conhecimento matemático complementava suas concepções didáticas. A defesa dessas idéias resultou em uma nova orientação metodológica e as mesmas começaram a exercer certa influência, no contexto das reformas Campos e Capanema.
Idéias defendidas por Roxo, no livro A Matemática na Educação Secundária, estão presentes no debate atual da educação matemática. De modo geral, esse livro, publicado em 1937, contém idéias que, hoje, aprarecem, com mais evidência, nos PCN e nas regras adotadas na análise de livros didáticos. Este é o caso da valorização de um maior número de articulações entre os blocos de conteúdos. Alguns livros didáticos publicados nos últimos anos reservam capítulos inteiros para tratar de articulações entre geometria e álgebra. Antes da década de 1930, tais assuntos eram estudados de forma totalmente isolada. Dessa maneira, Roxo tinha uma visão inovadora e levantou aspetos importantes para o aprimoramento do ensino da matemática.
Euclides Roxo entendia que nos primeiros anos da escolaridade o ensino dos princípios lógicos e era menos importante do que estar atento às condições psicológicas da aprendizagem. Para aplicar essa visão, defendia que a divisão da matemática em campos isolados (aritmética, álgebra e geometria) deveria ser superada pela adoção de um ensino integrado de tais conteúdos. Predominava a concepção de que cada um desses temas fosse um corpo de conhecimento autônomo e que tal separação formal deveria ser preservada no ensino escolar. Dessa maneira, prevalecia mais uma visão formalista e sistemática do saber do que a consideração de aspectos subjetivos defendidos pela Escola Nova. A aplicação dos pressupostos desse movimento no ensino da matemática enfrentou dificuldades e resistências, pois a tradição era valorizar o método axiomático e a visão formalista. Valorizar aspectos mais subjetivos e psicológicos no ensino da matemática não era uma tarefa nada fácil de resolver.
Antes de publicar a Matemática na Educação Secundária, Euclides Roxo já havia escrito livros didáticos que tiveram ampla divulgação, tendo em vista a influência institucional do Colégio Pedro II. Esses livros tinham o objetivo de materializar as propostas de reformulação do ensino da matemática, no Brasil. Um traço histórico dessa influência é analisado, em profundidade, por Valente (2003), ao relatar fatos ocorridos em uma reunião da Congregação do Colégio Pedro II, quando o professor Othelo Reis alertou que os Irmãos Maristas estavam imprimindo folhetos com os programas propostos pelo Colégio Pedro II, mas estavam suprimindo o nome dos livros indicados para ministrar tais programas. Estavam criadas as condições para uma luta explícita entre as instituições envolvidas. A reação de Euclides Roxo foi imediata, propondo a criação de uma comissão para apurar o caso. Esse episódio permite destacar um aspecto importante que é a convergência ou divergência dos poderes de certas instituições envolvidas na educação. Nessa época, a Editora FTD, de propriedade dos Irmãos Maristas, já atuava no mercado livreiro há quase 30 anos e não tinha interesse em indicar livros que não fossem aqueles publicados por eles mesmos.
4. ANÁLISE DA METODOLOGIA NOS LIVROS DIDÁTICOS
Esse parágrafo descreve uma análise de estratégias metodológicas contidas em livros didáticos das séries finais do ensino fundamental, publicados nas últimas duas décadas, no Brasil. O livro didático é uma fonte de pesquisa porque se constitui em dos traços característicos da vulgata escolar. No caso da educação matemática a importância desse recurso decorre da valorização usual da formalidade do saber matemático. Mas, para caracterizar a vulgata não basta pesquisar somente esse recurso porque sua utilização ocorre de diferentes maneiras. A valorização desse recurso como fonte de pesquisa justifica-se pelo fato do mesmo se constituir em uma expressão quase canônica da vulgata. Além de o livro didático trazer o núcleo dos conteúdos valorizados em um dado momento, a organização didática é influenciada pela maneira como o estudo está lá apresentado. No caso dos sistemas apostilados, a tendência de formatação é ainda maior, tendo em vista a determinação de um padrão quase único para a condução das aulas. Esse aspecto reforça a importância de considerar a dimensão institucional no estudo das organizações didáticas, como observa Chevallard (2002).
4.1 Três categorias de estratégias metodológicas
Quanto às estratégias metodológicas adotadas no estudo da geometria, os livros revelam a existência de três tendências, as quais foram denominadas por nós de estratégias: lógico-dedutiva; indutivo-dedutiva e resolução de problemas. Como nossa intenção é compreender as organizações didáticas induzidas, cumpre-nos lembrar que essas estratégias não aparecem de maneira independente ou absoluta. Entre as tendências atuais, como revelam alguns livros, uma abordagem lógico-dedutiva pode vir acompanhada de ensaios indutivos ou da resolução de problemas. Assim, existem alguns sinais de diversificação das estratégias adotadas, onde as organizações didáticas tendem a não mais ficarem restritas somente nos aspectos matemáticos.
Nos livros mais antigos há uma presença maior da estratégia lógico-dedutiva, a qual consiste em priorizar a apresentação de um enunciado, quase sempre, acompanhado por uma representação, e da descrição de uma seqüência encadeada de afirmações cuja validade está assegurada por outras proposições ou por axiomas anteriormente apresentados. O final da seqüência dedutiva sintetiza o conteúdo expresso pelo enunciado. Trata-se de um aspecto tradicional de formalização do saber. Quando ocorre o predomínio dessa visão, as praxeologias acadêmicas exercem uma forte influência nas práticas pedagógicas. Porém, ao admitir a existência de vários tipos de tarefas e de técnicas, os quais também estão associados a diferentes tecnologias e teorias, como prevê a abordagem antropológica, essa visão tradicional tende a ser alterada, incorporando alternativas metodológicas que contemplam mais adequadamente a dimensão experimental e intuitiva do saber.
A estratégia indutivo-dedutiva consiste em verificar casos particulares ou realizar procedimentos experimentais, antes de fazer uma dedução lógica. A intenção dessa estratégia é contemplar, simultaneamente, o aspecto matemático, por meio da valorização de uma seqüência dedutiva, e o aspecto mais intuitivo através do método indutivo. Em livros didáticos mais recentes essa estratégia aparece com maior freqüência do que nos livros mais antigos, sinalizando um traço cultural da vulgata contemporânea da educação matemática. A presença dessa estratégia de ensino exemplifica a diversificação, acima mencionada. Ao invés de identificar a metodologia adotada na produção do saber matemático com a metodologia do ensino, a proposta de diversificar os caminhos revela um passo a mais no sentido de aproximar-se das reais condições do que é fazer matemática.
A estratégia de resolução de problemas consiste em propor um problema logo no início do estudo de um conteúdo matemático. A proposição desse problema geralmente é acompanhada de sugestões para motivar o envolvimento do aluno. Alguns elementos formais, fazendo menção à validade dos conteúdos envolvidos, podem ser entremeados na apresentação de outros problemas: representações gráficas, uma dedução lógica ou o enunciado de uma proposição. Essa estratégia é uma menos freqüente nos livros didáticos. Seria essa uma das tendências metodológicas da vulgata atual da educação matemática? Tendo em vista a proximidade com que vivemos os eventos atuais da educação, talvez devamos manter um espírito de vigilância para perceber em que direção os ventos estão soprando.
4.2 Diversificação de recursos nos livros didáticos
Alguns livros didáticos têm diversificado os recursos sugeridos para o estudo da matemática, tais como o uso de instrumentos de desenho e de medida, dobraduras, colagem, objetos do cotidiano, fotografias, diferentes desenhos, calculadoras, entre outros. Essa diversificação tem a finalidade de ampliar as ferramentas metodológicas de estudo da matemática. Além dessa diversidade de recursos, outro aspecto marcante é a existência de inúmeras articulações entre os recursos didáticos, propostas para implementar o ensino da geometria. Mas, há uma grande diferença entre os livros publicados antes e depois de 1995, sendo que nesses últimos transparece uma maior valorização do uso de recursos materiais. São recursos por meio dos quais os alunos podem interagir com a dimensão experimental do conhecimento. No caso de recursos ilustrativos, há uma expansão do uso de recursos visuais de comunicação por meio de desenhos, esquemas gráficos, diálogos de personagens em quadrinhos e fotos. De forma geral, os recursos proporcionados pelo uso da tecnologia, no que diz respeito aos aspectos visuais, são recursos de linguagem não contemplados pela noção de representação semiótica, valorizando fotos, cores e outros recursos de natureza gráfica, decorrentes do avanço dos recursos tecnológico.
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Alguns traços das atuais tendências do ensino da matemática têm suas raízes no início do século XX. As estratégias induzidas pelos livros didáticos têm aumentado o número de articulações entre os domínios de conteúdo, visando ampliar as condições de estudo e assim tornar os conteúdos mais significativos. Uma das raízes dessa estratégia estende à década de 1930, quando as reformas defendidas por Roxo, defendiam a necessidade de integrar os diferentes domínios de conteúdos da matemática.
Há também uma tendênica de diversificar as estratégias de ensino para orientar o estudo da geometria. Os livros mais antigos priorizam uma maneira mais sistematizada de apresentar os conteúdos, a qual chamamos estratégia formal-dedutiva. Os livros mais recentes mostram uma tendência de diversificar as estratégias, valorizando os recursos experimentais, a contextualização e a resolução de problemas.
Com a valorização mais destacada de aspectos experimentais percebemos uma relativa redução do tratamento formal de aspectos teóricos, tais como explicitação de definições, propriedades, teoremas e demonstrações. Essa redução ocorre ao mesmo tempo em que há um aumento de articulações entre os elementos usados para conduzir o estudo da matemática, envolvendo linguagem, observações históricas, diferentes tipos de representação. Os livros mostram uma expansão do uso de recursos visuais por meio de desenhos, esquemas, diálogos de personagens em quadrinhos e fotos.
Alguns recursos proporcionados pelas tecnologias digitais, no que diz respeito aos aspectos visuais, são recursos de linguagem não contemplados pelas representações semióticas, valorizando fotos, cores e outros recursos gráficos. Esses pontos revelam uma convergência na caracterização do que existe em comum entre os atuais livros didáticos, mostrando uma tendência de padronização nos dispositivos sugeridos. Quais seriam os aspectos positivos e os limites dessa tendência? Por certo, esta questão motiva-nos a definir novos objetos de estudo para uma melhor compreensão da textualização do saber escolar da educação matemática. Finalmente, a adoção de uma visão dialética entre aspectos experimentais e teóricos, como defende Caraça, sinaliza uma concepção capaz de preservar a dimensão epistemológica da matemática, sem perder as referências culturais e singulares do mundo material em que as pessoas vivem.
5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BOSCH, M. Un punto de vista antropológico: la evolución de los instrumentos de representación en la actividad matemática. Texto disponível na internet na página, http://www.ugr.es/local/seiem/IV_Simposio.htm, em 20/12/2006.
BRASIL. Ministério da Educação. Programa Nacional do Livro Didático. Guia de Livros Didáticos: 1ª a 4ª séries – PNLD. Brasília: Ministério da Educação, 2001.
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CHERVEL, A. História das disciplinas escolares: reflexões sobre um campo de pesquisa. Porto Alegre: Teoria e Educação, n. 2, p. 177-229, 1990.
CHERVEL, A. La Culture Scolaire. Paris, Editora Belin, 1990.
CHEVALLARD, Y. Analyse des pratiques enseignantes et didactique des mathematiques: a abordagem atnropologique. Atas da Universidade de Verão realizada na cidade Rochelle. Clermont-Ferrand: Editora do IREM, 1998.
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PAIS, L. Intuição, Experiência e Teoria. Campinas: Revista Zetetiké n. 6, 1996.
PAIS, L. Ensinar e Aprender Matemáticas. Belo Horizonte: Editora Autêntica, 2006.
SCHUBRING, G. Análise histórica dos livros de matemática. Autores Associados. São Paulo. 2003
VALENTE, W. A disciplina Matemática: etapas históricas de um saber escolar no Brasil. In OLIVEIRA, M. e RANZI, S. (org.) História das Disciplinas Escolares no Brasil: contribuições para o debate. Bragança Paulista: EDUSF, 2003.
ANEXO I – IDENTIFICAÇÃO DOS LIVROS DIDÁTICOS
CÓDIDOAUTOREDITORAANO
7.1Fernando TrottaScipione1986
7.2Álvaro AndriniBrasil1989
7.3Gelson Iezzi, Oswaldo Dolce, Antônio MachadoAtual1991
7.4José Ruy Giovanni, Benedito Castrucci e Giovanni Jr.FTD1992
7.5Edwaldo BianchiniModerna 1993
7.6Scipione Di Pierro NettoScipione1995
7.7Oscar GuelliÁtica1997
7.8Luiz Márcio Imenes e Marcelo LellisScipione1999
7.9José Jakubo, Marcelo Lellis e Marília CenturiónScipione1999
7.10Antônio José Lopes BigodeFDT2000
7.11Célia Carolino Pires, Edda Curi, Ruy PietropaoloAtual2001
7.12José Ruy Giovanni e Eduardo ParenteFTD2002
PALAVRAS-CHAVE: Didática da Matemática. Livros Didáticos de Matemática. Metodologia de Ensino da Matemática. Recursos didáticos da matemática.
1) CONSIDERAÇÕES INICIAIS
As questões metodológicas do ensino da matemática já ocuparam um lugar de maior destaque no debate da área de Educação Matemática. Por volta de 1980, esse assunto motivou a realização de várias pesquisas e de cursos de especialização. O problema principal do ensino da matemática parecia estar muito mais na metodologia do que nos conteúdos. Essa convergência de interesses foi uma reação contra a tendência de atribuir aos conteúdos o ponto central da prática de ensino. Para superar os equívocos de uma radicalização em posições opostas, uma das tendências atuais é estabelecer permanentes articulações entre métodos, conteúdos e os valores, no sentido de implementar uma visão dialética na condução da prática pedagógica.
A tendênica tradicional tende a ser ainda mais radical quando é dominada pela visão formalista. É preciso falar dessa vertente porque ela ainda atua como uma das fontes de influência. Com base nessa concepção, ensinar matemátia consiste em apresentar uma sequência de axiomas, definições, teoremas, demonstrações, exemplos e exercícios. Esse quadro tem sido alterado com a evolução da Educação Matemática, mas, trata-se de uma questão fortemente enraizada no plano institucional do saber acadêmico. As práticas resultantes dessa influência ainda são dominadas pelo pensamento positivista e traduzidas pelo que Gascón (2003) chama de euclidianismo.
Além de analisar livros didáticos das duas últimas décadas, analisamos também referências bibliográficas publicadas na primeira metade do século XX. São obras destinadas aos professores de matemática e coincidem com o período de expansão do movimento de reformulação do ensino da matemática. Valorizamos essas referências porque a cultura escrita tem um peso considerável na cultura escolar. Nesse sentido, a abordagem proposta por Chevallard (2002) é um referencial adequado por permitir uma compreensão das atividades docentes, sem descuidar da vertende epistemológica. A partir dessas considerações, desenvolvemos uma pesquisa conduzida pela seguinte questão: quais são as raízes históricas da diversificação das estratégias metodológicas verificada em grande parte nos atuais livros didáticos de matemática?
2) REFERÊNCIAS TEÓRICAS
As referências adotadas para analisar as tendências da metodologia de ensino da matemática e suas raízes históricas se inserem no quadro da abordagem antropológica proposta por Chevallard (2002). Visando atender a dimensão cultural da matemática como disciplina escolar, nossa intenção é utilizar a noção de vulgata, descrita por Chervel (1990), para interpretar as ações e os recursos utilizados no contexto de uma disciplina em um dado momento. Os próximos parágrafos são reservados para descrever alguns pontos dessa referência, os quais nós articulamos com a questão metodológica.
2.1 Abordagem antropológica e a questão metodológica
As estratégias metodológicas não são criações individuais dos professores. As escolhas realizadas estão vinculadas a um contexto mais amplo e ultrapassam os limites da sala de aula, da escola e da experiência docente. Ao adotar um método, o professor parte de referências institucionais que participam na escolha dos caminhos e dos dispositivos. Quando se trata do professor em início de carreira, o peso dessas fontes é ainda maior. Nossa intenção é tratar das estratégias induzidas por fontes de influência da prática pedagógica, entrelaçando as ações docentes com as referências institucionais. Essa maneira de entender a questão metodológica está em sintonia com a abordagem antropológica proposta por Chevallard (2002) ao defender a localização da atividade matemática no conjunto das atividades institucionais e humanas. As tendências usuais são indicações institucionais implementadas pelos professores. Os livros didáticos e o saber acadêmico estão entre as instituições participantes dessas indicações. Ao defender tal ponto de vista, é preciso considerar os vínculos entre a subjetividade das ações docentes e a objetividade das indicações institucionais.
Para implementar uma proposta curricular as relações entre métodos, conteúdos e objetivos são traduzidas em termos de tarefas e técnicas, formando a parte externa das atividades didáticas. Esses dois elementos se desdobram em quatro, se considerarmos a parte referente à atividade do aluno e o que compete ao trabalho docente. Sem conceber isolamento entre os elementos desse bloco prático-técnico, Chevallard propõe associá-lo ao saber-fazer. A partir dessa idéia, chegamos à noção de competência. Segundo nossa leitura, a competência docente no que diz respeito aos aspectos metodológicos pode ser interpretada à luz dessa maneira de conceber o saber-fazer. A vantagem dessa interpretação é contribuir na expansão da objetividade da idéia de competência, quase sempre mencionada de maneira vaga. As tarefas e técnicas são complementadas por explicações tecnológicas e teóricas.
Os métodos adotados pelos professores e avalizados pelas instituições ganham maior visibilidade quando as organizações didáticas são explicitadas. Por esse motivo, nossa intenção é pesquisar a dimensão metodológica a partir das praxeologias induzidas por livros didáticos e por outras fontes bibliográficas. Para aplicar as noções dessa referência teórica, acreditamos não ser necessário negar nossas concepções oriundas do pensamento fenomenológico. Nossa intenção é ampliar essa referência para procurar incluir uma visão mais crítica através de categorias culturais e históricas.
2.2 Estratégias metodológicas induzidas
Falamos em termos de estratégias induzidas porque compete ao professor conduzir as ações realizadas na sala de aula. Isto não quer dizer que ele tenha liberdade absoluta para criar métodos e recursos. Os limites das escolhas são delineados pelas indicações da cultura escolar. Chervel (1990), ao estudar a história do exame da agregação na França, chama atenção para outra fonte de influência considerável que é o próprio corpo docente, o qual convive com a instituição escolar, mas não reproduz automaticamente o que lhe é indicado. Se, por um lado, idealizamos a independência intelectual, por outro, devemos prever o espaço do diálogo na realização de escolhas dentro dos elementos culturais da vulgata. Por esse motivo, falamos em praxeologias induzidas, das quais o professor lança mão para definir a parte essencial de suas ações.
Temos o interesse em analisar estratégias induzidas por livros didáticos porque estamos inseridos no desafio de contribuir na formação de professores. Além do mais, em nível da formação inicial a influência das praxeologias induzidas é mais acentuada. Chevallard (2002), aborda essa questão do jovem professor, destacando os desafios encontrados para compreender as práticas recomendadas. Nesse momento inicial da carreira o poder das instituições aparece com mais intensidade. Um dos desafios é perceber caminhos que possam ir além daqueles originados na matemática formal. Nosso envolvimento com a formação de professores revela dois casos opostos. Um deles é o professor em início de carreira. O outro é o caso do professor com muitos anos de experiência, que tendo uma maneira própria e cristalizada de conduzir suas aulas, é resistente a qualquer proposta de mudança. Em casos extremos, o conhecimento empírico funciona como um obstáculo à instalação de uma nova referência pedagógica.
3. ASPECTOS EPISTEMOLÓGICOS DA METODOLOGIA
Os próximos parágrafos destacam aspectos epistemológicos ligados à questão metodológica a partir da análise de concepções de autores de obras publicadas na primeira metade do século XX. São concepções que tratam de aspectos mais teóricos da metodologia, porém com implicações diretas na condução prática. O contexto histórico dessas idéias coincide com o movimento de reformulação do ensino da matemática, liderado pelo matemático alemão Félix Klein (1849 -1925). A convergência de forças oriundas das instituições envolvidas nesse movimento define o que era mais indicado em termos dos caminhos a serem seguidos pelos professores e permite identificar traços ainda presentes nas tendências atuais da educação matemática. Alguns desses traços aparecem no atual cenário da inserção das tecnologias digitais na educação. Entre as fontes que influenciam a escolha das estratégias, centralizamos nossa atenção no livro didático, pelo fato de ser um dos dispositivos mais acessíveis no estudo escolar.
3.1 Movimento de reformulação do ensino da matemática
A idéia de criação de uma comissão internacional para estudar a modernização do ensino da matemática já existia nos últimos anos do século XIX. Em 1905, por ocasião da realização de um congresso mundial de matemáticos, foi formalizada uma proposta nesse sentido. Assim, em 1908, foi criada a Comissão Internacional de Ensino da Matemática (CIEM), em sintonia direta com o saber acadêmico com a finalidade de expandir suas ações por diversos países. O critério para um país poder participar dessa comissão era o grau de atividade de sua comunidade matemática, medido através do número de participantes nos congressos mundiais até então realizados. A princípio, o objetivo era obter uma visão geral do ensino da matemática nos diversos países e nos difentes níveis educacionais. Entretanto, para destacar o peso da componente político-social no contexto da reforma, Schubring (2003) mostra a existência de incongruências entre os objetivos anunciados pela CIEM e os fatos ocorridos em países que rejeitaram suas propostas. Félix Klein era um fervoroso defensor do ensino da geometria e a Itália tinha longa tradição de valorização desse domínio de conteúdo. Dessa maneira, não haviam razões aparentes para que as propostas da mudança pudessem ser rejeitadas pelos italianos. Com o destaque desses fatos, surge a hipótese que os objetivos do movimento estavam atrelados a uma proposta política da qual os italianos não concordavam. Giovanni Vailati (1863 – 1909) era o representante da CIEM na Itália e sua morte foi um golpe contra o sucesso das reformas naquele país. Era um dos poucos matemáticos italianos contrários à tendência conservadora de tornar os métodos de ensino ainda mais rigorosos.
A maioria dos matemáticos italianos rejeitava a abordagem intuitiva ou indutiva nos métodos de ensino e, pelo contrário, defendia maior rigor e formalismo. Para essa ala conservadora, o ensino axiomático era uma prioridade. Esse era o cenário de uma disputa de poder através da defesa de métodos que fossem mais ou menos acessível aos alunos. O centro da questão não estava na metodologia em si, mas na ampliação ou não das condições de acesso à educação. Nesse momento, ficou explícita a existência de uma força opositora ao movimento de reforma do ensino da matemática. A defesa radical da abstração, do rigor e da origem puramente racional da matemática completa essa visão conservadora. Em última instância, são características do saber matemático, indevidamente, utilizadas pela defesa de um projeto político.
Quando iniciou o movimento de reformulação do ensino da matemática, existia na Alemanha um problema de transição política de uma sociedade antiga para um novo modelo de organização social onde a ciência e a industria começavam a ter maior importância. A tentativa de modernizar o ensino toma fôlego na medida em que havia um clima para ocorrer mudanças sociais. Estava em pauta o desafio de transição da antiga situação política para um novo quadro de possibilidades sociais. Este é um exemplo histórico vivo onde as relações entre conhecimento e interesse sobressaem, negando a visão ingênua de que a matemática é uma ciência imparcial devido a sua objetividade. Os motivos que levaram Klein a se envolver na reformulação do ensino da matemática dizem respeito à transição do ensino secundário para o superior.
3.2 Uma indevida identificação metodológica
Entre os autores do início do século XX interessados pela questão metodológica da matemática está o matemático espanhol Júlio Rey Pastor (1888 – 1962). Formado na Universidade de Zaragoza, foi professor de matemática na Universidade de Madri e, por muitos anos, trabalhou na Universidade de Buenos Aires, onde contribuiu na formação da primeira geração de matemáticos desse país, sempre atento às questões educacionais. Na década de 1920, sua produção científica contribuiu para o desenvolvimento teórico da geometria. Mas, também realizou estudos sobre a História e a Epistemologia da Matemática com a preocupação de discutir as suas implicações didáticas. Entre as suas obras está Metodologia de la Matemática, publicada em 1926, com reedições na década de 1940. Esta obra apresenta um ponto de vista fundamental da questão metodológica do ensino da matemática, ao destacar os riscos da metodologia de ensino ser confundida com a metodologia de produção da ciência. A primeira está mais ligada à Didática e a sua finalidade é estruturar as atividades escolares, enquanto a segunda pertence ao plano acadêmico, com a finalidade de regular a produção de novos conhecimentos.
O destaque feito por esse autor chama a atenção para o que tem sido o principal equívoco da vertente tradicional: confundir as estratégias de ensino com as condições exigidas na sistematização final do texto matemático. Existe neste ponto uma verdadeira nebulosa epistemológica, uma nuvem na qual se perdem as estratégias tradicionais e os resultados dessa identificação são desastrosos. Mais especificamente, trata-se de adotar quase somente o método lógico-dedutivo, tal como é valorizado na sistematização do saber matemático. A degeneração dessa vertente de ensino recai no formalismo, quando a sistematização é tratada como sendo a principal condição do ensino escolar.
3.3 Finalidades de uma escolha metodológica
A adoção do método lógico-dedutivo predominou durante muitos séculos no ensino da matemática. Começou a ser questionada no início do século XX, com o movimento de reformulação do ensino da matemática. As influências desse movimento, em termos de mudanças efetivas nas práticas educativas, não foram as mesmas em todos os países. Schubring (2003) analisa os objetivos que estavam por trás desse movimento na Alemanha, mostrando o peso da dimensão política de um momento marcado pelo início da expansão industrial capitalista. Esse tipo de análise mostra a necessidade do professor estar atento às razões mais profundas das escolhas feitas, quer sejam dos conteúdos e quanto aos métodos. Quais razões justificam a adoção da visão dedutivista como opção predominante no ensino escolar? Durante séculos a matemática foi considerada uma disciplina separada do mundo das classes populares.
O pensamento de Euclides foi a principal fonte de influência para justificar essa estratégia dedutivista, conforme podemos ver nas recomendações descritas no guia pedagógico dos jesuítas, na parte destinada aos professores de matemática. Assim, é preciso indagar pelos motivos que avalizaram o predomínio dessa visão metodológica até o início do século XX. A formalização proposta para organizar o conhecimento geométrico passou a ser adotada como modelo para conduzir o estudo da matemática. Para compreender essa questão, reportamos às idéias de Rey Pastor, explicando que o termo método significa a escolha de um caminho para alcançar um determinado objetivo, enquanto que o termo metodologia era empregado para teorizar, no contexto de uma disciplina, os diversos caminhos que conduzem ao fim previsto. Assim, não devemos separar os desafios da escolha de um método da questão de definição dos objetivos. Nesse sentido, o professor não deve confundir o método de validação do saber matemático com os métodos de organização do estudo escolar.
Essa observação feita por Rey Pastor desperta nossa atenção porque é muito raro encontrar autores que destacam a existência dessa nebulosa e vinculam a compreensão do significado do método em função dos objetivos previstos. Mesmo que essas duas maneiras de conceber a metodologia de ensino tenham uma interseção, é provável que grande parte das dificuldades do ensino da matemática tenha origem nessa confusão. Os paradigmas de uma comunidade científica têm origem no plano institucional da área acadêmica e não devem ser confundidos com a especificidade de um contrato didático cuja natureza pertence a outra instituição.
Ainda existe essa nebulosa no ensino da matemática, mas alguns autores da primeira metade do século XX tinham consciência da questão. Infelizmente, a evolução dessas idéias sofreu um corte patrocinado pelo tecnicismo, quando as propostas metodológicas passaram a ser dominadas pela visão dos defensores da matemática moderna. Até hoje, não é difícil encontrar livros didáticos onde as estratégias metodológicas repousam somente na dimensão epistemológica do saber matemático. Para compreender a crítica feita por Rey Pastor é preciso entender as concepções e os valores que fundamentam seu pensamento educacional, em função do momento histórico vivido por ele. Um assunto de debate da época era a definição de valores que pudessem melhor justificar a presença da matemática no currículo escolar.
3.4 Dialética entre as dimensões racional e experimental
Para analisar a questão metodológica do ensino da matemática realizamos uma leitura da obra de Bento de Jesus Caraça (1901 – 1948), Conceitos Fundamentais da Matemática, publicada em 1941. Este autor foi um notável matemático português cujas idéias educacionais estavam voltadas em sintonia com as questões sociais e culturais. Autor de várias obras, foi um educador engajado em movimentos sociais de sua época. Defendia a necessidade de democratizar o acesso à cultura como uma das etapas para transformar a sociedade de classes. Nesse sentido, atribuía um papel político à matemática que podia, segundo ele, possibilitar aos operários uma clara compreensão das armadilhas econômicas do regime capitalista. Um dos traços do seu pensamento consistia em rejeitar a idéia de atribuir à Matemática uma origem somente racional. Segundo sua visão, a elaboração do saber deve passar por permanentes laços dialéticos entre a dimensão racional e aspectos experimentais do conhecimento.
A aplicação desse princípio dialético indicava para a necessidade de transformar as estratégias adotadas no ensino tradicional da matemática. Nos cursos de matemática que ministrava esse princípio era aplicado e sempre denunciava o uso indevido com que a racionalidade é utilizada em defesa das classes dominantes. A conseqüência desse princípio era a necessidade de valorizar a dimensão experimental do conhecimento. Denunciava a visão determinista com que as ciências aparecem nos livros e chamava a atenção dos professores para a concepção equivocada de considerar a ciência um todo harmonioso, onde as idéias se encaixam em uma ordem definitiva e sem contradições.
Essa visão antecipa uma questão ainda não totalmente resolvida, quando o livro didático passa a se adotado como um fio condutor absoluto das atividades escolares. Caraça defende um ponto de vista importante para orientar o ensino que consiste na necessidade de acompanhar o desenvolvimento progressivo da ciência, procurando compreender a maneira como a ciência vai sendo elaborada no transcorrer da história. Quando esse acompanhamento é realizado percebe-se que sua evolução é totalmente diferente da forma como é apresenta nos livros. Em outros termos, Caraça defende que a linearidade do texto didático deve ser confrontada pelo professor com a verdadeira evolução do saber do científico.
3.5 Euclides Roxo e a questão metodológica
A orientação metodológica tradicional consiste em valorizar o modelo lógico-dedutivo, a sistematização e a defesa do formalismo inerente ao saber matemático. Essa visão repousa ainda na concepção de que a matemática é uma disciplina cuja finalidade maior é desenvolver o raciocínio lógico e serve para enaltecer o espírito humano. A partir de 1930, Euclides Roxo, no Colégio Pedro II, começou a explicitar os primeiros traços de uma orientação metodológica diferente da linha tradicional. Em sintonia com as orientações debatidas em outros países, Euclides Roxo defendia a necessidade de valorizar aspectos mais subjetivos da aprendizagem, tais como o interesse do aluno e o seu nível de desenvolvimento cognitivo. A valorização de aspectos experimentais e intuitivos do conhecimento matemático complementava suas concepções didáticas. A defesa dessas idéias resultou em uma nova orientação metodológica e as mesmas começaram a exercer certa influência, no contexto das reformas Campos e Capanema.
Idéias defendidas por Roxo, no livro A Matemática na Educação Secundária, estão presentes no debate atual da educação matemática. De modo geral, esse livro, publicado em 1937, contém idéias que, hoje, aprarecem, com mais evidência, nos PCN e nas regras adotadas na análise de livros didáticos. Este é o caso da valorização de um maior número de articulações entre os blocos de conteúdos. Alguns livros didáticos publicados nos últimos anos reservam capítulos inteiros para tratar de articulações entre geometria e álgebra. Antes da década de 1930, tais assuntos eram estudados de forma totalmente isolada. Dessa maneira, Roxo tinha uma visão inovadora e levantou aspetos importantes para o aprimoramento do ensino da matemática.
Euclides Roxo entendia que nos primeiros anos da escolaridade o ensino dos princípios lógicos e era menos importante do que estar atento às condições psicológicas da aprendizagem. Para aplicar essa visão, defendia que a divisão da matemática em campos isolados (aritmética, álgebra e geometria) deveria ser superada pela adoção de um ensino integrado de tais conteúdos. Predominava a concepção de que cada um desses temas fosse um corpo de conhecimento autônomo e que tal separação formal deveria ser preservada no ensino escolar. Dessa maneira, prevalecia mais uma visão formalista e sistemática do saber do que a consideração de aspectos subjetivos defendidos pela Escola Nova. A aplicação dos pressupostos desse movimento no ensino da matemática enfrentou dificuldades e resistências, pois a tradição era valorizar o método axiomático e a visão formalista. Valorizar aspectos mais subjetivos e psicológicos no ensino da matemática não era uma tarefa nada fácil de resolver.
Antes de publicar a Matemática na Educação Secundária, Euclides Roxo já havia escrito livros didáticos que tiveram ampla divulgação, tendo em vista a influência institucional do Colégio Pedro II. Esses livros tinham o objetivo de materializar as propostas de reformulação do ensino da matemática, no Brasil. Um traço histórico dessa influência é analisado, em profundidade, por Valente (2003), ao relatar fatos ocorridos em uma reunião da Congregação do Colégio Pedro II, quando o professor Othelo Reis alertou que os Irmãos Maristas estavam imprimindo folhetos com os programas propostos pelo Colégio Pedro II, mas estavam suprimindo o nome dos livros indicados para ministrar tais programas. Estavam criadas as condições para uma luta explícita entre as instituições envolvidas. A reação de Euclides Roxo foi imediata, propondo a criação de uma comissão para apurar o caso. Esse episódio permite destacar um aspecto importante que é a convergência ou divergência dos poderes de certas instituições envolvidas na educação. Nessa época, a Editora FTD, de propriedade dos Irmãos Maristas, já atuava no mercado livreiro há quase 30 anos e não tinha interesse em indicar livros que não fossem aqueles publicados por eles mesmos.
4. ANÁLISE DA METODOLOGIA NOS LIVROS DIDÁTICOS
Esse parágrafo descreve uma análise de estratégias metodológicas contidas em livros didáticos das séries finais do ensino fundamental, publicados nas últimas duas décadas, no Brasil. O livro didático é uma fonte de pesquisa porque se constitui em dos traços característicos da vulgata escolar. No caso da educação matemática a importância desse recurso decorre da valorização usual da formalidade do saber matemático. Mas, para caracterizar a vulgata não basta pesquisar somente esse recurso porque sua utilização ocorre de diferentes maneiras. A valorização desse recurso como fonte de pesquisa justifica-se pelo fato do mesmo se constituir em uma expressão quase canônica da vulgata. Além de o livro didático trazer o núcleo dos conteúdos valorizados em um dado momento, a organização didática é influenciada pela maneira como o estudo está lá apresentado. No caso dos sistemas apostilados, a tendência de formatação é ainda maior, tendo em vista a determinação de um padrão quase único para a condução das aulas. Esse aspecto reforça a importância de considerar a dimensão institucional no estudo das organizações didáticas, como observa Chevallard (2002).
4.1 Três categorias de estratégias metodológicas
Quanto às estratégias metodológicas adotadas no estudo da geometria, os livros revelam a existência de três tendências, as quais foram denominadas por nós de estratégias: lógico-dedutiva; indutivo-dedutiva e resolução de problemas. Como nossa intenção é compreender as organizações didáticas induzidas, cumpre-nos lembrar que essas estratégias não aparecem de maneira independente ou absoluta. Entre as tendências atuais, como revelam alguns livros, uma abordagem lógico-dedutiva pode vir acompanhada de ensaios indutivos ou da resolução de problemas. Assim, existem alguns sinais de diversificação das estratégias adotadas, onde as organizações didáticas tendem a não mais ficarem restritas somente nos aspectos matemáticos.
Nos livros mais antigos há uma presença maior da estratégia lógico-dedutiva, a qual consiste em priorizar a apresentação de um enunciado, quase sempre, acompanhado por uma representação, e da descrição de uma seqüência encadeada de afirmações cuja validade está assegurada por outras proposições ou por axiomas anteriormente apresentados. O final da seqüência dedutiva sintetiza o conteúdo expresso pelo enunciado. Trata-se de um aspecto tradicional de formalização do saber. Quando ocorre o predomínio dessa visão, as praxeologias acadêmicas exercem uma forte influência nas práticas pedagógicas. Porém, ao admitir a existência de vários tipos de tarefas e de técnicas, os quais também estão associados a diferentes tecnologias e teorias, como prevê a abordagem antropológica, essa visão tradicional tende a ser alterada, incorporando alternativas metodológicas que contemplam mais adequadamente a dimensão experimental e intuitiva do saber.
A estratégia indutivo-dedutiva consiste em verificar casos particulares ou realizar procedimentos experimentais, antes de fazer uma dedução lógica. A intenção dessa estratégia é contemplar, simultaneamente, o aspecto matemático, por meio da valorização de uma seqüência dedutiva, e o aspecto mais intuitivo através do método indutivo. Em livros didáticos mais recentes essa estratégia aparece com maior freqüência do que nos livros mais antigos, sinalizando um traço cultural da vulgata contemporânea da educação matemática. A presença dessa estratégia de ensino exemplifica a diversificação, acima mencionada. Ao invés de identificar a metodologia adotada na produção do saber matemático com a metodologia do ensino, a proposta de diversificar os caminhos revela um passo a mais no sentido de aproximar-se das reais condições do que é fazer matemática.
A estratégia de resolução de problemas consiste em propor um problema logo no início do estudo de um conteúdo matemático. A proposição desse problema geralmente é acompanhada de sugestões para motivar o envolvimento do aluno. Alguns elementos formais, fazendo menção à validade dos conteúdos envolvidos, podem ser entremeados na apresentação de outros problemas: representações gráficas, uma dedução lógica ou o enunciado de uma proposição. Essa estratégia é uma menos freqüente nos livros didáticos. Seria essa uma das tendências metodológicas da vulgata atual da educação matemática? Tendo em vista a proximidade com que vivemos os eventos atuais da educação, talvez devamos manter um espírito de vigilância para perceber em que direção os ventos estão soprando.
4.2 Diversificação de recursos nos livros didáticos
Alguns livros didáticos têm diversificado os recursos sugeridos para o estudo da matemática, tais como o uso de instrumentos de desenho e de medida, dobraduras, colagem, objetos do cotidiano, fotografias, diferentes desenhos, calculadoras, entre outros. Essa diversificação tem a finalidade de ampliar as ferramentas metodológicas de estudo da matemática. Além dessa diversidade de recursos, outro aspecto marcante é a existência de inúmeras articulações entre os recursos didáticos, propostas para implementar o ensino da geometria. Mas, há uma grande diferença entre os livros publicados antes e depois de 1995, sendo que nesses últimos transparece uma maior valorização do uso de recursos materiais. São recursos por meio dos quais os alunos podem interagir com a dimensão experimental do conhecimento. No caso de recursos ilustrativos, há uma expansão do uso de recursos visuais de comunicação por meio de desenhos, esquemas gráficos, diálogos de personagens em quadrinhos e fotos. De forma geral, os recursos proporcionados pelo uso da tecnologia, no que diz respeito aos aspectos visuais, são recursos de linguagem não contemplados pela noção de representação semiótica, valorizando fotos, cores e outros recursos de natureza gráfica, decorrentes do avanço dos recursos tecnológico.
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Alguns traços das atuais tendências do ensino da matemática têm suas raízes no início do século XX. As estratégias induzidas pelos livros didáticos têm aumentado o número de articulações entre os domínios de conteúdo, visando ampliar as condições de estudo e assim tornar os conteúdos mais significativos. Uma das raízes dessa estratégia estende à década de 1930, quando as reformas defendidas por Roxo, defendiam a necessidade de integrar os diferentes domínios de conteúdos da matemática.
Há também uma tendênica de diversificar as estratégias de ensino para orientar o estudo da geometria. Os livros mais antigos priorizam uma maneira mais sistematizada de apresentar os conteúdos, a qual chamamos estratégia formal-dedutiva. Os livros mais recentes mostram uma tendência de diversificar as estratégias, valorizando os recursos experimentais, a contextualização e a resolução de problemas.
Com a valorização mais destacada de aspectos experimentais percebemos uma relativa redução do tratamento formal de aspectos teóricos, tais como explicitação de definições, propriedades, teoremas e demonstrações. Essa redução ocorre ao mesmo tempo em que há um aumento de articulações entre os elementos usados para conduzir o estudo da matemática, envolvendo linguagem, observações históricas, diferentes tipos de representação. Os livros mostram uma expansão do uso de recursos visuais por meio de desenhos, esquemas, diálogos de personagens em quadrinhos e fotos.
Alguns recursos proporcionados pelas tecnologias digitais, no que diz respeito aos aspectos visuais, são recursos de linguagem não contemplados pelas representações semióticas, valorizando fotos, cores e outros recursos gráficos. Esses pontos revelam uma convergência na caracterização do que existe em comum entre os atuais livros didáticos, mostrando uma tendência de padronização nos dispositivos sugeridos. Quais seriam os aspectos positivos e os limites dessa tendência? Por certo, esta questão motiva-nos a definir novos objetos de estudo para uma melhor compreensão da textualização do saber escolar da educação matemática. Finalmente, a adoção de uma visão dialética entre aspectos experimentais e teóricos, como defende Caraça, sinaliza uma concepção capaz de preservar a dimensão epistemológica da matemática, sem perder as referências culturais e singulares do mundo material em que as pessoas vivem.
5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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BRASIL. Ministério da Educação. Programa Nacional do Livro Didático. Guia de Livros Didáticos: 1ª a 4ª séries – PNLD. Brasília: Ministério da Educação, 2001.
GASCÓN, J. La necesidade de utilizar modelos en didática de las matemáticas. In Educação Matemática Pesquisa. V.5 n.3. São Paulo. EDUC, pp 11-37, 2003
CHERVEL, A. História das disciplinas escolares: reflexões sobre um campo de pesquisa. Porto Alegre: Teoria e Educação, n. 2, p. 177-229, 1990.
CHERVEL, A. La Culture Scolaire. Paris, Editora Belin, 1990.
CHEVALLARD, Y. Analyse des pratiques enseignantes et didactique des mathematiques: a abordagem atnropologique. Atas da Universidade de Verão realizada na cidade Rochelle. Clermont-Ferrand: Editora do IREM, 1998.
CHEVALLARD, Y. La Transposition Didactique. Paris: Pensée Souvage, 1991.
CHEVALLARD, Y. Organiser l’étude Ecologia et Regulation, Atas da 11ª Escola de Verão de Didática da Matemática, pela Editora La Pensée Sauvage: 2002.
PAIS, L. Intuição, Experiência e Teoria. Campinas: Revista Zetetiké n. 6, 1996.
PAIS, L. Ensinar e Aprender Matemáticas. Belo Horizonte: Editora Autêntica, 2006.
SCHUBRING, G. Análise histórica dos livros de matemática. Autores Associados. São Paulo. 2003
VALENTE, W. A disciplina Matemática: etapas históricas de um saber escolar no Brasil. In OLIVEIRA, M. e RANZI, S. (org.) História das Disciplinas Escolares no Brasil: contribuições para o debate. Bragança Paulista: EDUSF, 2003.
ANEXO I – IDENTIFICAÇÃO DOS LIVROS DIDÁTICOS
CÓDIDOAUTOREDITORAANO
7.1Fernando TrottaScipione1986
7.2Álvaro AndriniBrasil1989
7.3Gelson Iezzi, Oswaldo Dolce, Antônio MachadoAtual1991
7.4José Ruy Giovanni, Benedito Castrucci e Giovanni Jr.FTD1992
7.5Edwaldo BianchiniModerna 1993
7.6Scipione Di Pierro NettoScipione1995
7.7Oscar GuelliÁtica1997
7.8Luiz Márcio Imenes e Marcelo LellisScipione1999
7.9José Jakubo, Marcelo Lellis e Marília CenturiónScipione1999
7.10Antônio José Lopes BigodeFDT2000
7.11Célia Carolino Pires, Edda Curi, Ruy PietropaoloAtual2001
7.12José Ruy Giovanni e Eduardo ParenteFTD2002