Intuição, Experiência e Teoria
Luiz Carlos Pais
Luiz Carlos Pais
Resumo: Este artigo analisa a relação da geometria com o mundo físico, atribuindo uma importância mais destacada para o uso de desenhos, objetos materiais e de imagens mentais como recursos representativos da construção dos conceitos geométricos planos e espaciais. A análise desses recursos é seguida pela identificação da existência de uma possível correlação desses elementos com os aspectos intuitivo, experimental e teórico do conhecimento geométrico. A descrição aqui empreendida está fundamentada pela reflexão de algumas questões de natureza epistemológica e numa série de experiências realizadas em sala de aula com alunos em nível de escolaridade correspondente à séries finais do primeiro grau, buscando delinear obstáculos inerentes ao processo de ensino e aprendizagem da geometria.
Palavras-chaves: Representação dos Conceitos Geométricos, Materiais Didáticos para o Ensino da Geometria, Aspecto Experimental do Ensino da Geometria, Epistemologia do Conhecimento Geométrico.
Introdução
Este artigo pretende destacar alguns elementos de interesse didático para o ensino da geometria e o seu tema está inserido na problemática da representação plana dos conceitos geométricos. Seu objetivo principal é analisar quatro elementos fundamentais que intervêm fortemente no processo de ensino e aprendizagem da geometria euclidiana plana e espacial. Trata-se do objeto, do conceito, do desenho e da imagem mental. O termo “objeto” é aqui utilizado em sua acepção concreta e está associado principalmente aos modelos ou materiais didáticos. A esses quatro elementos se faz necessário acrescentar todas as questões de natureza semântica que envolvem as palavras usadas na linguagem geométrica. Os resultados indicam que esses objetos e suas representações por um desenho têm uma influência predominante nos procedimentos de raciocínio do aluno no transcurso da construção de seu conhecimento geométrico.
O trabalho com esses elementos experimentais se constitui, principalmente para o aluno de primeiro grau, num recurso necessário à transposição de um nível pré-categorial para o mundo das idéias abstratas. Esta análise evidencia a possibilidade de uso dos recursos didáticos na aprendizagem geométrica ao mesmo tempo em que salienta os riscos de uma possível limitação do ensino a um nível puramente experimental o que negaria a essência do conhecimento geométrico. Esses quatro elementos estão correlacionados aos aspectos intuitivo, experimental e teórico do conhecimento geométrico que formam a estrutura básica de uma teoria epistemológica da geometria desenvolvida por GONSETH F. [1945]. Este estudo aborda o problema da geometria no espaço e sua relação com o mundo físico e permite uma interpretação voltada para a educação matemática.
As observações aqui descritas foram obtidas a partir de três procedimentos básicos. Num primeiro momento foi realizada uma pesquisa em sala de aula com alunos em nível de escolaridade correspondente às três últimas séries do primeiro grau. Em seguida procedeu-se a análise do depoimento de alguns professores de matemática manifestando suas concepções a propósito das dificuldades do ensino e da aprendizagem da geometria principalmente no que se refere às exigências da abstração e da generalidade. Finalmente esse estudo foi acrescido de uma análise de livros didáticos, programas e diretrizes curriculares em suas partes específicas do ensino da geometria. A análise de todo esse material contou com a participação importante de uma equipe de professores de matemática envolvida com um trabalho coletivo de pesquisa. Algumas considerações referentes a esta técnica podem ser encontradas em VERGNAUD [1981] e PAIS [1995].
A materialidade do objeto
O termo objeto é interpretado neste texto como sendo uma parte material claramente identificável no mundo vivenciado pelo aluno e que pode ser associada à forma de alguns dos conceitos geométricos estudados em nível da escola fundamental. Por exemplo, o objeto associado ao conceito de cubo pode ser um cubo construído em madeira, plástico, cartolina ou qualquer outro material. Esses objetos poderiam também ser chamados de materiais didáticos ou modelos físicos para o ensino da geometria. De uma maneira geral pode ser associado um objeto à maioria das noções geométricas com as quais o aluno tem contato já no programa da escola de primeiro grau. É esta possibilidade que leva à uma vontade maior por parte do professor do uso desses recursos o qual deve ser cuidadosamente planejado e fundamentado teoricamente no sentido de ele possa contribuir, de fato, para uma aprendizagem mais significativa para o aluno.
Devido a sua natureza particular e concreta esses objetos permitem uma relativa facilidade de manipulação no transcorrer de atividades visando a aprendizagem. Entretanto, faz-se necessário salientar que esta manipulação não pode se limitar à uma simples atividade lúdica. Não se trata, aqui, da manipulação de objetos defendida na educação pré-escolar cuja finalidade não está voltada diretamente para uma aprendizagem formal. O significado que lhe é conferido é análogo à experiência raciocinada descrita por BKOUCHE [1989] que associa necessariamente à manipulação física do objeto uma atividade intelectual que estabeleça uma relação dialética efetiva entre teoria e prática. O problema que surge com o uso desses materiais é que sua natureza contrasta frontalmente com a generalidade e a abstração dos conceitos visados e daí surge também a necessidade de transpor sua própria materialidade.
Há geralmente uma grande expectativa de que, com o recurso dessa manipulação, o aluno possa, por si mesmo, e sob uma orientação pedagógica, descobrir propriedades que, uma vez abstraídas, contribuiriam na elaboração conceitual. Por exemplo, manipulando um objeto em forma de um cubo o aluno poderia constatar o número de faces, vértices, arestas, o paralelismo entre as faces, o número de arestas que se encontram num vértice etc. Essa constatação que pode também ser feita através da leitura de um desenho em perspectiva, quando efetuada diretamente sobre o objeto, parece apresentar maior facilidade. Esta aparente facilidade reside justamente no imediatismo oferecido pelo objeto e também no fato da leitura do desenho requerer necessariamente de um tipo de abstração. Não se trata de condenar o uso de objetos e sim reconhecer que a aprendizagem somente vai se desencadear a partir do momento que o aluno conseguir fazer uma leitura geométrica da representação envolvida. É evidente, portanto, que a materialidade deve ser suplantada no sentido de permitir a gênese do processo de abstração, caso contrário, recai-se no erro indesejável de admitir a existência de uma “geometria concreta” o que seria contraditória aos objetivos da educação matemática. Neste ponto reside talvez o maior risco de um uso inadequado ou superficial dos materiais didáticos, quando sua manipulação se restringe puramente a seu aspecto mais imediato. O desafio didático, neste caso, é saber como dar a continuidade didática entre o uso do material e as questões que levariam à abstração.
Visto que o processo de construção teórica é lento, gradual e complexo e que por isso mesmo é possível admitir a existência de diferentes níveis de conceitualização, o objeto pode ser considerado como uma forma primária de representação do conceito. O problema desta consideração é que implícita à noção de representação está uma visão platonista de conceber o conhecimento, na qual o homem está bem distanciado do mundo das idéias. Daí a necessidade de levar em conta todas as limitações inerentes ao próprio processo de representação. É preciso admitir que o representante, neste caso, nada mais é do que um simples modelo físico que pode apenas contribuir na formação das idéias mas evidentemente não substituí-las. É devido a esta relativa facilidade de manipulação que o objeto pode ser considerado uma forma de representação primária do conceito. Primária no sentido que ele é a forma mais acessível e imediata à sensibilidade humana
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Função do desenho na aprendizagem
A representação dos conceitos geométricos por um desenho é um dos recursos didáticos mais fortemente consolidados no ensino e na aprendizagem da geometria. Quer seja na representação de figuras planas ou espaciais o desenho tem sido, na realidade, uma passagem quase que totalmente obrigatória no processo de conceitualização geométrica. Sua presença se destaca tanto nas aulas de geometria, como nos livros didáticos ou mesmo simplesmente para ilustrar os enunciados de exercícios, definições ou teoremas. Essa sua presença significativa leva à necessidade de uma reflexão epistemológica e didática sobre o seu verdadeiro estatuto na aprendizagem geométrica. De início, pode-se destacar que, da mesma forma que o objeto, o desenho é também de natureza essencialmente concreta e particular portanto oposta às características gerais e abstratas do conceito. Esta correlação entre o particular e o geral, entre o concreto e o abstrato, que envolve a representação conceitual, revela, por si mesma, o desafio posto à atividade didática que é, como no caso dos objetos, a necessidade de transpor o próprio desenho.
O uso do desenho em geometria plana, que é normalmente identificado, pelo aluno, ao próprio conceito, é relativamente bem mais simples do que em geometria espacial que exige, quase sempre, o recurso da técnica da perspectiva. Este uso da perspectiva, que serve para colocar em evidência a terceira dimensão do objeto representado, é uma das dificuldades maiores encontradas pelos alunos na aprendizagem dos conceitos espaciais. Neste sentido BONAFE [1988] analisa em detalhes as dificuldades do ensino da geometria espacial quando o aluno ainda não tem imagens mentais suficientemente operacionais para decodificar um desenho em perspectiva. Este autor destaca o fato de que tanto a produção de um desenho em perspectiva pelo aluno, como a sua leitura pode se constituírem em obstáculos consideráveis para a aprendizagem. Estas observações sugerem uma reflexão mais importante em torno da possibilidade do desenho se transformar num obstáculo epistemológico, no sentido descrito por BACHELARD [1983].
A experiência que fundamentou este artigo mostrou que alunos com idade entre 11 e 15 anos frequentemente tem grandes dificuldades na leitura de propriedades geométricas a partir dos próprios desenhos em perspectiva. Nesta leitura o aluno pode fixar sua atenção num determinado aspecto gráfico particular o que lhe impede de visualizar a figura como um todo. Na análise da importância do desenho para a aprendizagem geométrica foi possível destacar que este recurso gráfico é utilizado para representar desde as noções fundamentais, até o caso de figuras ilustrando conceitos ou teoremas clássicos. Mas, no conjunto de todos os desenhos alguns se destacam com muito mais evidência do que outros. Esses desenhos têm uma importância mais diferenciada e fundamental e por isso recebem o nome de configurações geométricas. Uma análise dessas configurações no ensino de geometria elementar pode ser encontrada no trabalho de GARDIMAN [1993].
É este uso extensivo do desenho que permite considerá-lo uma segunda forma de representação conceitual com um nível de complexidade bem maior do que a representação por um objeto. A decodificação das informações geométricas contidas num desenho requer o domínio de algumas informações técnicas que normalmente não são explicitamente ensinadas a nível de primeiro grau. Nos desenhos que aparecem nos livros didáticos há uma série de grafismos que, embora possuindo um significado preciso, tem seu emprego baseado mais numa certa tradição do que numa aprendizagem formal. São estas dificuldades associadas àquelas da perspectiva que levam a considerar o desenho uma forma de representação mais complexa do que a representação por um objeto.
Imagens mentais em geometria
A formação das imagens mentais é um tema de interesse central para a psicologia cognitiva justamente por permitir uma forma bem ampla de representação do conhecimento humano. Mas, de uma maneira bem mais particular, o interesse neste trabalho se limita às imagens mentais que podem ser associadas aos conceitos geométricos. A inclusão da análise dessas imagens no contexto de uma epistemologia da geometria foi inspirada, a princípio, pelos trabalhos de DENIS M. [1979] e [1989] dedicados à teoria cognitiva. Essas imagens que são de uma natureza essencialmente diferente daquelas do objeto e do desenho podem ser destacadas por duas características básicas: a subjetividade e a abstração. Pelo fato de serem abstratas podem ser relacionadas aos conceitos, mas o seu aspecto subjetivo lhe afasta da natureza científica. Entretanto, o que deve ser salientado é que a construção da objetividade passa necessariamente pelo estágio subjetivo da concepção individual do aluno. Não há como fugir de uma visão existencialista no sentido descrito por MARTINS e BICUDO [1983] que, baseando na filosofia de Kierkegaard, ressaltam que o problema central é a liberação do homem e que o erro, do ponto de vista educacional, estaria no exagero da objetividade: “O ser que conhece, que atribui significados, não pode abstrair-se de si mesmo e contemplar a existência como sendo subespécie da eternidade”.
Embora não seja fácil definir formalmente o que seja uma imagem mental, pode-se dizer que o indivíduo tem uma dessas imagens quando ele é capaz de enunciar, de uma forma descritiva, propriedades de um objeto ou de um desenho na ausência desses elementos. Assim, como as noções geométricas são idéias abstratas, portanto estranhas à sensibilidade exterior do homem, a formação de imagens mentais é uma consequência quase que exclusiva do trabalho com desenhos e objetos.
A aprendizagem geométrica engloba necessariamente uma razoável habilidade racional de trabalho com boas imagens mentais associadas não só aos conceitos como também teoremas e situações geométricas fundamentais. “Imagine uma reta perpendicular a um plano”; “seja a diagonal principal de um cubo”, são exemplos de frases que fazem um apelo direto ao uso de uma imagem desse tipo. No transcorrer da aprendizagem, aos poucos, o conjunto de tais imagens é enriquecido tanto no aspecto quantitativo como qualitativo. Para os interesses educacionais essas imagens são tanto melhor quanto mais operacionais elas forem, o que permitirá o desenvolvimento de um raciocínio mais dinâmico para a resolução de problemas ou para novas aprendizagens. Para os interesses do ensino da geometria, são os objetos e os desenhos que podem principalmente estimular a formação de boas imagens e neste contexto elas constituem uma terceira forma de representação das noções geométricas. A natureza desta representação é bem mais complexa em relação ao uso de um objeto ou de um desenho, mas por outro lado, permite uma utilização muita mais rápida e eficiente.
Generalidade e abstração dos conceitos
A generalidade e a abstração dos conceitos geométricos são construídas pouco a pouco, num processo dialético que envolve necessariamente a influência do mundo físico e uma reflexão intelectual sobre este mundo. Num primeiro estágio sua elaboração se estabelece numa relação de permanente comparação entre o mundo das idéias e o mundo físico. Se por um lado a busca desses atributos tem sido a ênfase principal do ensino da geometria, por outro, as dificuldades na concretização deste objetivo são também persistentes; talvez pela recusa ou pela resistência em considerar os obstáculos relativos à experiência do aluno.
Uma compreensão mais razoável desta natureza abstrata e geral passa efetivamente por um longo processo evolutivo no qual o aluno pode inclusive reviver dificuldades ocorridas na própria evolução histórica do conceito. Neste sentido estabelece-se uma necessidade de análise das possíveis correlações existentes entre o processo evolutivo da formação histórica do conceito e as etapas pelas quais o aluno passa no transcurso da aprendizagem. É neste processo de conceitualização que o aluno lança mão de recursos que lhe são mais próximos e disponíveis; entrando em cena as representações por objetos e desenhos e posteriormente pelas imagens mentais.
No enfoque deste trabalho é interessante salientar que a representação de um conceito somente faz sentido pleno uma vez que o mesmo já esteja num certo nível de formalização. Desta forma, perante as dificuldades impostas pela abstração ocorre, num nível preliminar da aprendizagem, uma identificação, por parte do aluno, entre o conceito e sua representação. É assim que um simples traço no quadro negro ou no papel passa a ser a "própria" reta, ou como no caso clássico da geometria plana em que os conceitos são identificados ao seu desenho. É importante ressaltar que a própria palavra "figura" pode ter uma dupla interpretação: uma como um conceito geométrico e a outra no sentido de apenas uma representação gráfica. A transposição desta dupla correlação dialética envolvendo o particular e o geral, o concreto e o abstrato, é talvez o principal obstáculo vivenciado pelo aluno no desenvolvimento inicial da aprendizagem.
É evidente que do ponto de vista científico o conceito não pode ser algo susceptível a modificações subjetivas que permitam diferentes significados. Mas enquanto conhecimento, que é construído pelo homem, existe uma série de particularidades que acabam determinando níveis de conceitualização diferentes. Cada indivíduo possui uma série de imagens mentais associadas a um determinado conceito. Embora esses dois elementos sejam de natureza puramente abstrata, o primeiro deles se refere domínio da psicologia cognitiva enquanto que o segundo se refere ao aspecto racional e objetivo da ciência e o trabalho didático se situa entre esses polos interligados.
Três aspectos do conhecimento geométrico
A análise epistemológica da geometria do espaço desenvolvida por GONSETH F. [1945] distingue três aspectos fundamentais deste conhecimento: o intuitivo, o experimental e o teórico. A intuição é uma forma de conhecimento imediato que está sempre disponível no espírito das pessoas cuja explicitação não requer uma dedução racional guiada por uma sequência lógica de argumentos deduzidos uns dos outros. Um conhecimento baseado somente na intuição se caracteriza, antes de tudo, por uma funcionalidade quase imediata quando comparada com o desenvolvimento necessário de uma sequência dedutiva do raciocínio lógico. Mas esta disponibilidade é evidentemente relativa ao conjunto de conhecimentos já acumulados pelo sujeito. O que pode ser intuitivo e evidente para uma pessoa pode não o ser para outra.
Os axiomas da geometria euclidiana podem ser aceitos com base nesta forma de conhecimento intuitivo. Conforme observa BKOUCHE [1983], Legendre, um notável matemático da Revolução Francesa, inicia sua obra clássica “Eléments de Géométrie” definindo que “axioma é uma propriedade evidente por ela mesma” e que o teorema é uma propriedade que torna-se evidente por meio de um raciocínio matemático chamado demonstração. Por outro lado, uma vez admitida algumas noções intuitivas, o raciocínio matemático, traduzido pelas demonstrações, não pode se basear na argumentação intuitiva.
A título de exemplo pode ser descrita a seguinte situação em geometria plana: uma reta passa por um ponto que é interior à região limitada por uma circunferência vai interceptar ou não essa circunferência? Uma maioria expressiva de alunos que têm uma pequena iniciação em geometria não tem dificuldade em concluir que a reta realmente irá não somente interceptar a circunferência como o fará em dois pontos. Este tipo de conhecimento, aceito ou enunciado de imediato, é uma forma de intuição. Por outro lado, este mesmo resultado pode também ser concluído por uma construção experimental através da realização de um desenho. Neste caso o desenho que é utilizado para descobrir ou verificar uma proposição é uma forma de conhecimento experimental. Mas a interseção da reta com a circunferência poderia também ser constatada por meio de uma demonstração sem o recurso direto da intuição ou do desenho o que consistiria no aspecto teórico do conhecimento geométrico.
Elementos de conclusão
Do ponto de vista didático não se deve conceber a existência de um desses elementos totalmente desvinculado dos outros, pois da mesma forma como há uma base intuitiva no método axiomático, o apelo à experiência acaba determinando uma forte influência na gênese das noções teóricas da geometria. Na tentativa de melhor compreender este sincretismo e suas consequências pedagógicas é necessário destacar que no processo de elaboração conceitual acaba predominando uma influência significativa das representações do conhecimento quer seja por um objeto, por um desenho ou por uma imagem mental. Neste contexto, é necessário destacar que as demonstrações, mesmo em se tratando de um raciocínio lógico e intelectual, tem sua formalização precedida de ensaios intuitivos e ou experimentais que acabam não aparecendo em sua redação final.
As diversas relações epistemológicas que interligam esses elementos constituem o eixo central da aprendizagem geométrica a nível da escolaridade fundamental e por isso mesmo devem ser melhor investigadas. A intuição tem algo em comum com as imagens mentais pois ambas apresentam uma certa disponibilidade de utilização e também por serem essencialmente subjetivas, por outro lado, não se constituem em recursos aceitos para o processo de validação do conhecimento. O objeto e o desenho são simplesmente recursos materiais auxiliares à construção de um conhecimento de natureza experimental e por si mesmo não caracterizam as noções geométricas. Mas, na construção do conhecimento teórico da geometria, que é constituído essencialmente pelos conceitos, se faz necessário o recurso simultâneo tanto das bases intuitivas como da atividade experimental. Finalmente, a correlação levantada entre os elementos fundamentais à aprendizagem geométrica e a teoria epistemológica de Gonseth indica para a necessidade de uma utilização racional dos materiais didáticos, em determinados níveis da aprendizagem, como recursos auxiliares mas não como substitutivos à construção de conceitos. Ao mesmo tempo que essa utilização é justificada evidencia-se a marginalização do aspecto conceitual negaria a essência do conhecimento geométrico.
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