Relações algébricas entre quadrados perfeitos consecutivos – Teorema geral dos quadrados perfeitos consecutivos
"Advertência: Este artigo faz parte do livro “Relações Quadráticas – Estudo das relações algébricas entre quadrados perfeitos consecutivos e quadrados não perfeitos”, de Eder Ferreira. Todos os direitos reservados ao autor."
Antes de mais nada, é preciso ser explicado, de maneira direta, o que são quadrados perfeitos consecutivos.
Considera-se perfeito todo e qualquer quadrado que possui como raiz um número natural inteiro.
Peguemos como exemplo os números 16 e 20. Assim:
Raiz quadrada de 16 = 4
Raiz quadrada de 20 = 4,47
Percebemos, portanto, que a raiz quadrada de 16 é igual a 4, que é logicamente um numero natural inteiro.
Já a raiz quadrada aproximada de 20 é 4,47, que não é um numero natural inteiro.
Do mesmo modo, analisemos agora o que são quadrados perfeitos consecutivos.
Vejamos as duas sequências numéricas a seguir, designadas S1 e S2:
S1: 9,16
S2: 9, 25
Ambas as sequências acima são de quadrados perfeitos, pois todos possuem raízes com valores naturais inteiros.
Porém, somente a sequência S1 é formada por quadrados consecutivos, pois o quadrado 16 é o próximo na sequência crescente, após o quadrado 9, já que a raiz de 16 é 4, e a raiz de 9 é 3, e 4 é o número natural inteiro consecutivo a 3.
A segunda sequência não é consecutiva, pois do quadrado 9 pula direto para o quadrado 25, não passando pelo quadrado 16, que deveria ser a sequência lógica, já que a raiz de 25 é 5, e a raiz de 9 é 3, e 5 não é o número natural inteiro consecutivo a 3, que, como já vimos, é o 4.
Visto o que são quadrados perfeitos consecutivo, vamos agora para a relação existente.
Dados dois quadrados perfeitos consecutivos quaisquer, como 16 e 25, e extraímos suas raízes:
Raiz quadrada de 16 = 4
Raiz quadrada de 25 = 5
Pois bem. Agora subtraímos os dois quadrados entre si:
25 – 16 = 9
Após isso, somamos as duas raízes extraídas:
5 + 4 = 9
Logo, percebemos que existe uma relação direta entre a subtração dos quadrados e a soma de suas raízes, como visto a seguir:
25 – 16 = 5 + 4
9 = 9
Peguemos outro exemplo. Dados os quadrados perfeitos consecutivos 64 e 81 e os subtraímos:
81 – 64 = 17
Agora peguemos suas raízes:
Raiz quadrada de 81 = 9
Raiz quadrada de 64 = 8
E as somamos:
9 + 8 = 17
Logo:
81 – 64 = 9 + 8
17 = 17
Podemos provar essa relação por meio de uma equação. Dado os quadrados consecutivos 36 e 49. sabendo que a raiz de 36 é 6, qual a raiz de 49?
Utilizando os exemplos anteriores, montemos uma equação, onde a raiz de 49, representada por x, é a incógnita:
49 – 36 = x + 6
13 = x + 6
-x = -13 + 6 (-1)
x = 13 – 6
x = 7
Sabendo que a raiz quadrada de 49 é igual a 7, afirmamos que a proposição é verdadeira.
Lançamos, portanto, a seguinte hipótese: a diferença entre dois quadrados perfeitos consecutivos é igual à soma de suas respectivas raízes.
Para provar tal hipótese, façamos o seguinte: primeiramente pegamos um número natural inteiro qualquer, que chamaremos q. Sabendo que dois quadrados consecutivos possuem raízes também naturais consecutivas, pegamos, agora, um outro número, 1 unidade menor que q, que chamaremos, portanto, de q - 1. Assim temos que q é o número natural inteiro consecutivo a q – 1.
Agora, elevemos q e q – 1 ambos ao quadrado:
q2
(q – 1)2
q2 – q – q + 1
q2 -2q + 1
Assim, teremos:
q2: um quadrado qualquer, consecutivo ao quadrado q2 -2q + 1
q2 -2q + 1: um quadrado qualquer
q: a raiz de q2
q -1: a raiz de q2 -2q + 1
Segundo a hipótese lançada, a diferença entre dois quadrados perfeitos consecutivos é igual à soma de suas respectivas raízes.
Portanto:
q2 – (q2 – 2q + 1) = q + (q – 1)
q2 – q2 + 2q –1 = q + q – 1
q2 – q2 + 2q –1 = 2q – 1
2q –1 = 2q – 1
Percebemos que os dois lados se igualaram. Assim, podemos afirmar que q2 – (q2 – 2q + 1) é algebricamente igual a q + (q – 1).
Nomeando os dois quadrados perfeitos consecutivos q2 e q2 -2q + 1 de Q e Qa, respectivamente, sendo Q o quadrado maior e Qa o menor, ou anterior, e suas respectivas raízes de q e qa, ao invés de q -1, temos:
Q – Qa = q + qa
Dessa forma, provamos a hipótese de que a diferença entre dois quadrados perfeitos consecutivos é igual à soma de suas respectivas raízes.